数据结构与算法python版本之线性结构之递归Recursion-编程知识

递归是一种解决问题的方法，其精髓在于：将问题分解为规模更小的相同问题，持续分解，直到问题规模小到可以用非常简单直接的方式来解决；递归的问题分解方式非常独特，其算法方面的明显特征是：在算法流程中调用自身
递归为我们提供了一种对复杂问题的优雅解决方案，精妙的递归算法会出奇简单，令人惊叹

初识递归

问题：给定一个列表，返回所有数的和，列表中的个数不定，需要一个循环和一个累加变量来迭代求和
程序很简单，for循环或者while循环即可实现，但是假如没有这两种循环呢？
我们认识到求和实际上最终是由一次次的加法实现的，而加法恰有两个操作数，这个是确定的
我们看看怎么想办法，将问题规模较大的列表求和，分解为规模较小而且固定的2个数求和

接下来我们换个方式来表达数列求和，全括号表达式
(1+(3+(5+(7+9))))
上面这个例子，最内层的括号是（7+9），这是无需循环即可计算的，实际上整个求和的过程就是按照括号内一步一步计算的

因此，我们可以把上述过程中所包含的重复模式可以归纳为这样
数列的和= “首个数”+“余下数列”的和
如果数列包含的数少到只有一个的话，它的和就是这个数了，这是规模小到可以做最简单的处理

我们简单用python代码实现如下：

def listsum(numList):if len(numList) == 1:return numList[0]else:return numList[0] + listsum(numList[1:])print(listsum([1, 3, 5, 7, 9]))"""
上面程序的要点：1、问题分解为更小规模的相同问题，并表现为”调用自身“  2、对”最小规模“问题的解决：简单直接
"""

递归”三定律“

为了向阿西莫夫的”机器人三定律“致敬，递归算法也总结出”三定律“

递归算法必须有一个基本结束条件（最小规模问题的直接解决）
递归算法必须能改变状态向基本结束条件演进（减小问题规模）
递归算法必须调用自身（解决减小了规模的相同问题）

递归“三定律”：数列求和问题

数列求和问题首先具备了基本结束条件:当列表长度为1的时候，直接输出所包含的唯一数
数列求和处理的数据对象是一个列表，而基本结束条件是长度为1的列表，那递归算法就要改变列表并向长度为1的状态演进，我们看到其具体做法是将列表长度减少1。
调用自身是递归算法中最难理解的部分，实际上我们理解为“问题分解成了规模更小的相同问题”就可以了，在数列求和算法中就是“更短数列的求和问题”

递归的应用：任意进制转换

整数转换为任意进制

这个在数据结构栈里面讨论过的算法又回来了，递归和栈，一定有关联
如果上次你被入栈，出栈搞的晕头转向的话，这次递归算法一定让你感到清新

我们用最熟悉的十进制分析下这个问题
十进制有十个不同符号：convString =“0123456789”
比十小的整数，转换成十进制，直接查表就可以了：convString[n]
想办法把比十大的整数，拆成一系列比十小的整数，逐个查表
比如七百六十九，拆成七、六、九，查表得到769就可以了

所以，在递归三定律里，我们找到了“基本结束条件”，就是小于十的整数，拆解整数的过程就是向“基本结束条件”演进的过程
我们用整数除，和求余数两个计算来将整数一步步拆开
除以“进制基base”（// base)
对“进制基”求余数（% base）

那么
问题就分解为：
余数总小于“进制基base”，是“基本结束条件”，可直接进行查表转换
整数商成为“更小规模”问题，通过递归调用自身解决

so
递归代码如下：

def toStr(n, base):convString ="0123456789ABCDEF"if n < base:#返回最小规模return convString[n]else:#减小规模调用自身return toStr(n//base, base) + convString[n%base]print(toStr(1456, 16))

递归调用的实现

当一个函数被调用的时候，系统会把调用时的现场数据压入到系统调用栈，每次调用，压入栈的现场数据称为栈帧；当函数返回时，要从调用栈的栈顶取得返回地址，恢复现场，弹出栈帧，按地址返回。

Python中的递归深度限制

在调试递归算法程序的时候经常会碰到这样的错误：RecursionError
递归的层数太多，系统调用栈容量有限

这个时候要检查程序中是否忘记设置基本结束条件，导致无线递归；或者向基本结束条件演进太慢，导致递归层数太多，调用栈溢出。
比如说这样：


def tell_story():print("从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，他在讲：")tell_story()
print("给你讲个故事")
tell_story()

实际执行后的结果如下：

在这里插入图片描述

在python中，内置的sys模块可以获取和调整最大递归深度

import sysprint(sys.getrecursionlimit())sys.setrecursionlimit(3000)
print(sys.getrecursionlimit())

执行通过后：

在这里插入图片描述

递归的可视化

前面所说的种种递归算法展现了其简单而又强大的一面，但还是难有个只管的概念
下面我们通过递归作图来展示递归调用的视觉影像

递归可视化：图示

Python的海归作图系统turtle module
python内置，随时可用，以LOGO语言的创意为基础
其意向为模拟海归在沙滩上爬行而留下足迹
爬行：forward(n), backward(n)
转向：left(n), right(n)
抬笔放笔：penup();pendown()
笔属性：pensize(s); pencolor©

我们先简单做个图，代码如下：

import turtle
t = turtle.Turtle()
#作图开始
for i in range(4):t.forward(100) #指挥海归作图t.right(90)
#作图结束
turtle.done()

运行之后的结果是：
在这里插入图片描述
我们再来一个例子：螺旋

import turtle
t = turtle.Turtle()
#作图开始
def drawSpiral(t, lineLen):#不符合最小规模，直接退出if lineLen > 0:t.forward(lineLen)  # 指挥海归作图t.right(90)#减少规模，边长减去5drawSpiral(t, lineLen - 5)
drawSpiral(t, 300)#作图结束
turtle.done()

执行之后的结果是
在这里插入图片描述

分形树：自相似递归图形

分形Fractal，是1975年由Mandelbrot开创的新学科——一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似的）是整体缩小后的形状，即具有自相似的性质

自然界中能找出中所具有分形性质的物体，例如：海岸线、山脉、闪电、云朵、雪花或者树等等

自然界中所具备的分形特性，使得计算机可以通过分形算法生成非常逼真的自然场景

分形是在不同尺度上都具有相似性的实物，我们能看出一棵树的每个分叉和每条树枝，实际上都具有整棵树的外形特征（也是逐步分叉的）
这样，我们可以把树分解为三个部分：树干、左边的小树、右边的小树，分解后，正好符合递归的定义：对自身的调用；

所以我们简单来实现一个分形树的代码：

import turtledef tree(branch_len):if branch_len > 5:#树干太短不画，约束条件t.forward(branch_len)  #画树干t.right(20)     #右倾斜20度tree(branch_len - 15)   #递归调用，画右边的小树，树干减15t.left(40)    #向左回40度，即左倾斜20度tree(branch_len - 15)   #递归调用，画左边的小树，树干减15t.right(20)    #向右回20度，即回正t.backward(branch_len)  #海归退回原位置t = turtle.Turtle()
t.left(90)
t.penup()
t.backward(100)
t.pendown()
t.pencolor('green')
t.pensize(2)
tree(100)    #画树干长度100的二叉树
t.hideturtle()#作图结束
turtle.done()

执行完成之后的结果是
在这里插入图片描述

递归可视化：谢尔宾斯基三角形

分形构造，平面称谢尔宾斯基三角形，立体称谢尔宾斯基金字塔。实际上，真正的谢尔宾斯基三角形是完全不可见的，其面积为0，但周长无穷，是介于一维和二维之间的分数维（约1.585）构造

谢尔宾斯基三角形：作图思路

根据自身相似特性，谢尔宾斯基三角形是由3个尺寸减半的谢尔宾斯基三角形按照品字形拼叠而成，由于我们无法真正做出谢尔宾斯基三角形，只能做degree有限的近似图形

在degree有限的情况下，degree=n的三角形，是由3个degree=n-1的三角形按照品字形拼叠而成

同时，这3个degree=n-1的三角形边长均为degree=n的三角形的一半（规模减小）
当degree=0，则就是一个等边三角形，这是递归基本结束条件
那我们先简单实现

import turtledef sierpinski(degree, points):colormap = ['blue', 'red', 'green', 'white', 'yellow', 'orange']drawTriangle(points, colormap[degree])if degree > 0:sierpinski(degree - 1, {'left':points['left'], 'top':getMid(points['left'], points['top']), 'right':getMid(points['left'], points['right'])})sierpinski(degree - 1, {'left': getMid(points['left'], points['top']), 'top': points['top'],'right': getMid(points['top'], points['right'])})sierpinski(degree - 1, {'left': getMid(points['left'], points['right']), 'top': getMid(points['top'], points['right']),'right': points['right']})def drawTriangle(points, color):t.fillcolor(color)t.penup()t.goto(points['top'])t.pendown()t.begin_fill()t.goto(points['left'])t.goto(points['right'])t.goto(points['top'])t.end_fill()def getMid(p1, p2):return ((p1[0] + p2[0])/2, (p1[1] + p2[1])/2)t = turtle.Turtle()
points = {'left':(-200, -100),'top':(0, 200), 'right':(200, -100)}
sierpinski(5, points)#作图结束
turtle.done()