《经典论文阅读2》基于随机游走的节点表示学习

word2vec使用语言天生具备序列这一特性训练得到词语的向量表示。而在图结构上，则存在无法序列的难题，因为图结构它不具备序列特性，就无法得到图节点的表示。deepwalk 的作者提出：可以使用在图上随机游走的方式得到一串序列，然后再根据得到游走序列进行node2vec的训练，进而获取得到图节点的表示。本质上deepwalk和word2vec师出同门（来自同一个思想），deepwalk算法的提出为图结构学习打开了新的天地。

1. 前言

目前主流算法可大致分为两类：walk-based 的图嵌入算法（GE，Graph Emebdding ）和 message-passing-based 的图神经网络算法（GNN）。

GE类算法主要包括有deepwalk、metapath2vec；
基于消息传递机制的图神经网络算法的经典论文则是GCN，GAT等。

因为内容过多，本期讲解分两期，第一期首先介绍GE类算法，第二期介绍图神经网络算法。GE类的算法经典的还属deepwalk，所以本期首先围绕deepwalk这篇论文进行介绍。

接触过word2vec 的同学都知道，word2vec的思想一改往日的one-hot囧境，将每个word映射成一个高维向量，这些学习到的的vector便具备了一定的特性，可以直接在下游任务中使用。有关word2vec这里不再叙述，更详细内容可以参考我之前的文章。

但是如果想得到图结构中顶点表示该怎么办呢？毕竟图结构与语言序列不同，图上的一个顶点可能有很多个连接点，而文本序列则是单线条，如下图所示，可以看出图结构与文本序列有着非常大的差异。

那就没有办法去解决图节点的表示学习了吗？
当然不是！而且方法还有很多，聪明的前辈们提出了一种叫做『deepwalk』的算法，这个算法着实让我惊艳。本质上说，deepwalk算法是基于图上的word2vec，而启发作者的其实是：由于二者数据分布（自然语言的词频和随机游走得到子图的节点的频率）存在一定的相似性。
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所以说，很多精妙的想法不是凭空造出来的，背后其实是有数据统计支撑的。

2. 思想

文本序列虽然只是一个序列，但是我们可以想象有一张巨大的由各个单词组成的图，我们随机从图上连接几个顶点就组成了一句话。例如『论文解析之deepwalk』其实就是从一张偌大的图中挑选出这么几个单词组成的一句话，如下图所示：
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那么对于其它的图，我们也可以这么做。即：从一张大图上随机游走，这样便得到了一串序列。将这得到的序列便可以利用word2vec的方法来学习节点的表示了。

想法是不是很精妙？真的很精妙！其实我们自己在解决问题的时候，也需要抱着这样的『转换』思想，如果直接求A不成，那么能否利用已有的知识求A？这再次说明问题的转化能力是一个非常重要的能力。

既然问题已经得到了转化，接下来的工作就比较简单了，可以直接利用word2vec中的算法（如Skip gram算法）去训练得到图节点的embedding。

3. 模型

3.1 模型构造

deepwalk 算法主要包含两部分：第一部分是random walk generator；第二部分是一个更新程序。
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采样方法
deepwalk中的采样方法其实是非常简单的均匀采样。下文中介绍到了这一采样算法：

step1. 首先随机采样一个节点作为此次walk的根节点。
step2. 接着从采样序列的最后一个节点的邻居中再随机选一个节点
step3. 直到采样序列的最大长度达成。

本文采取的实验参数是：将每个节点都做一次根节点，随机游走可以达到最长的长度为t。对应的算法伪代码如下所示：
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更新程序
在得到随机游走的序列后，便可以使用word2vec算法获取节点的embedding了。deepwalk算法使用的是SkipGram 算法。SkipGram算法的思想很简单，就是利用当前词去预测周围词。具体来看Skip-Gram 的算法伪代码。

$p(u_k | \phi(v_j)$ 其实就是求在 $v_j$ 这个顶点出现的条件下，顶点 $u_k$ 出现的概率，思想就是这么简单。那么损失函数也很好定义，直接取log后再取负数即可。但这里有个小trick点，（其实这个点也是训练word2vec 中的一个关键点），就是计算 $p(u_k|\phi(v_j))$ 时，我们一般都是用softmax来计算这个概率，softmax的计算公式是
$p(x_j) = \frac{exp(x_j)}{\sum_i^n{exp(x_i)}}$
但是词表的大小一般都是上万起步，如果要逐项计算 $exp(x_i)$ ，则非常浪费计算资源，那么有没有可以解决这个问题的方法呢？聪明的前辈们已经替我们想到了解决方法，那就是使用：负采样或者Hierarchical softmax方法。本文的作者使用的是HIerarchical softmax。因为skip gram算法在之前的文章中已经分析过，这里直接跳过。接下来我就再花费大家的一点时间来给大家介绍一下这个Hierarchical softmax。

3.2 Skip Gram

有兴趣的请翻前文。

3.3 Hierarchical softmax

这个Hierarchical softmax的算法思想其实非常简单，一言以蔽之：能否减少分类节点的个数（其实本质上也是负采样，只不过利用了完全二叉树去实现这个负采样的过程）。
例如：假设一部词典一共有8个单词，那么就可以构建一个如下所示的二叉树。
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其中：

叶子节点与每个单词对应。
那么求上下文单词 $u_k$ 在条件 $v_j$ 出现时的概率这一问题就转化成了到达这个叶子节点的概率问题。而到达每个叶子节点的概率是唯一的（因为路径各不相同）。那么之前的这个式子 $p(u_k | \phi(v_j)$ 就可以转化成由下面这个式子去求解：
$\prod_i^m(p(y_i|v_j))$
其中， $y_i$ 的取值范围为{0，1}，这里的m其实就是这棵二叉树的深度，也就是 $l o g V$ 向上取整。比如这里就是 $l o g 8 = 3$ 。
这么一套操作下来之后，就可以把原本一个线性的复杂度时间O(v) 降到了O(logV)，厉害吧！原文给出了一个比较直观的例子，用于理解Hierarchical softmax，如下：

在求得这个概率之后，就可以转头去做优化了。

优化算法

deepwalk 论文的作者采取的是 SGD（stochastic gradient descent ）优化损失。这里没有什么好介绍的，直接跳过了。到此为止，整个算法的核心内容已经介绍完毕了。接下来看看这个算法的实际效果如何？

3. 实际效果

deepwalk论文作者给出了一个效果示例图，如下图所示：
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左侧是一个图结构信息，右侧是根据学习到的embedding得到的一个二维展示，可以看出图结构和节点表示几乎能够一一对应起来（顶点的颜色表示输入图对一个基于模块的聚类）。

4. 发现

文章中提出了许多非常有意思的知识。坦白讲，在没有仔细看这篇文章之前，有一些知识点我是不了解的，比如「zipf's laws」。

4.1 zipf’s law

zipfs'law，又称齐夫定律，这是一个经验定律。该定律表示：一个单词的排名 $r$ 和这个单词的出现频率 $p$ 成反比，也即 $r * p = k$ 。用图像表示则是如下这个样子：
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y=1/x 这个函数的图像长这样：

（齐夫定律的图像要稍微直一些）。作者发现，如果原始图的顶点服从齐夫定律，那么根据随机游走选出来的子图的频次也会满足齐夫定律。