[导读]：超平老师的Scratch蓝桥杯真题解读系列在推出之后，受到了广大老师和家长的好评，非常感谢各位的认可和厚爱。作为回馈，超平老师计划推出《Python蓝桥杯真题解析100讲》，这是解读系列的第52讲。

病毒繁殖，本题是2021年3月27日举办的第12届蓝桥杯青少组Python编程选拔赛真题，题目要求编程求解在第N分钟时，病毒粒子的总数量。

先来看看题目的要求吧。

一.题目说明

提示信息：

某种病毒具有很强的繁殖能力，从病毒粒子出生后的第5分钟开始，每分钟可以复制出一个新的病毒粒子。新出生的病毒粒子从第5分钟开始，也可以每分钟复制一个新的病毒粒子。

举例来说，第1分钟时有一个病毒粒子，此病毒粒子从第5分钟开始复制新的病毒粒子，因此第5分钟时的病毒数量为2个；第6分钟时又复制出新的病毒粒子，因此第6分钟的病毒数量为3个；以此类推，第7分钟时病毒粒子数为4；第8分钟时病毒粒子数为5；第9分钟时，第5分钟复制出的病毒粒子开始复制新的病毒粒子，因此第9分钟时的病毒总数为7；第10分钟时，第6分钟复制出的病毒粒子开始复制新的病毒粒子，因此第10分钟时的病毒粒子总数为10。

编程实现：

计算病毒粒子总数，已知第一分钟时出生了一个病毒粒子，假设所有病毒粒子不会自动死亡，请计算第N分钟时的病毒粒子总数。

例如：前10分钟病毒粒子的总数分别为1,1,1,1,2,3,4,5,7,10。

输入描述：

输入正整数 N(0 < N ≤ 60)，表示时间

输出描述：

输出第N分钟时，病毒粒子的总数

样例输入：

6

样例输出：

3

二.思路分析

这是一道算法题，考查的算法有递归和递推，涉及的知识点包括循环、条件、列表和函数等。

看到这个题目所描述的场景，你会想到什么呢？

对了，就是斐波那契数列，也叫兔子数列。13世纪意大利数学家斐波那契的《算盘书》中记载了典型的兔子产仔问题。

其大意如下：

如果一对两个月大的兔子以后每一个月都可以生一对小兔子，而一对新生的兔子出生两个月后才可以生小兔子。也就是说，1月份出生，3月份才可产仔。那么假定一年内没有产生兔子死亡事件，那么1年后共有多少对兔子呢？

斐波那契数列是一个非常经典的算法编程题目，有多种实现方法，比如递归和递推等。

不管是使用哪种算法，其关键在于要确定递推公式，比如斐波那契数列的递推公式是这样的：

那本题描述的病毒繁殖，递推公式又是怎样呢？

对于这类问题，我们用f(n)来表示问题的解，通常有如下两种推导方式：

1). 正向推导，利用已知数列找规律；

2). 逆向推导，分析f(n)和f(n-1)之间的关系；

我们先用正向推导方法，题目给出了一个例子，前10分钟病毒粒子的总数分别为：

1,1,1,1,2,3,4,5,7,10

由于新出生的病毒粒子从第5分钟开始复制，说明前面4分钟的病毒例子都只有1个，即：

f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 1

第5分钟，开始复制一个例子，于是就得到了两个病毒粒子：

f(5) = f(4) + f(1) = 1 + 1 = 2

第6分钟呢，它是在第5分钟的基础上，又增加了一个，增加的一个是第1个病毒粒子复制出来的：

f(6) = f(5) + f(2) = 2 + 1 = 3

以此类推，可以分别计算出第7、8、9分钟的病毒数量：

f(7) = f(6) + f(3) = 3 + 1 = 4f(8) = f(7) + f(4) = 4 + 1 = 5

到第9分钟时，第5分钟复制出来的第2个病毒粒子也开始复制了，也就是说有两个病毒粒子在复制，要增加2个，其病毒数量计算如下：

f(9) = f(8) + f(5) = 5 + 2 = 7

第10分钟时，病毒数量计算如下：

f(10) = f(9) + f(6) = 7 + 3 = 10

因此，我们可以得到如下递推公式：

接下来，我们使用逆序推导的方式，此时我们只需要考虑f(n)和f(n-1)之间的关系。

为了方便描述，我们引入两个概念，存量和增量。

所谓存量，是指原来就有的，比如要计算第n分钟的病毒数量f(n)，存量就是第n-1分钟的病毒数量f(n - 1)。

所谓增量，是指新增的部分，对于本题而言，就是新复制出来的病毒，那么新复制出来多少呢？

此时，我们只需要明白一点，新出生的病毒粒子从第5分钟才开始复制，可以理解为病毒有4分钟的生长期。

也就是说，在第n分钟时，只有第n - 4分钟的那些病毒粒子才可以复制病毒粒子，所以增量就是f(n - 4)。

两者相加，就是第n分钟的病毒粒子数，如下：

f(n) = f(n - 1) + f(n - 4)

同时，我们还要考虑边界情况，要确保n - 1和 n - 4都大于0，所以n < 5时，需要单独处理。可以理解为前4分钟，病毒粒子还不具备繁殖能力，不能使用这个推导公式来推导。

有了推导公式，问题就变简单了，接下来，我们就进入具体的编程实现环节。

三.编程实现

根据上面的思路分析，我们使用两种方法来编写程序：

• 递归算法

• 递推算法

1. 递归算法

根据前面的思路分析，先定义递归函数，然后调用即可，代码如下：

代码比较简单，说明两点：

1). 为了完整性，这里增加了 <= 0的判断，实际上本题中的N是大于0的，所以不写也是可以的；

2). return不仅可以返回结果，还可以直接结束程序，所以只需要使用if语句就行，代码更简洁。

但是，考虑到N的范围是0~60，随着N的增加，时间复杂度急剧增加，所以会存在超时情况。

可以考虑使用带备忘录的递归算法，代码改进如下：

说明如下：

1). 需要借助一个列表，用来保存f(n)的值，其长度为n+1，默认值都是0；

2). 在定义函数的时候，尽量不要依赖外部变量，所以这里将memo列表作为参数进行传递。

2. 递推算法

递归问题，通常都可以改用递推算法来实现。为了方便，我们可以定义一个列表来保存每一分钟的病毒数量。

对应的代码如下：

代码不多，强调2点：

1). 为了方便，这里借用了列表arr，下标i对应的就是第i分钟，所以第一项表示第0分钟，设置为0；

2). 需要分情况讨论，当n < 5时，只需将第1~n项都设置为1，当n >= 5时，先将第1~4项设置为1，然后再利用递推公式计算第5~n项。

当输入n = 10的时候，arr数组如下：

因此，我们只需要输出arr[10]即可。

至此，整个程序就全部完成了，你也可以输入不同的数字来测试效果。

四.总结与思考

本题代码在12行左右，涉及到的知识点包括：

• 循环语句，主要for...in循环；

• 条件语句，包括单分支和双分支；

• 列表的使用；

• 函数的定义及使用；

• 递归算法；

• 递归算法；

本题作为stema测评的最后一题，难度不小。这里的关键点在于如何找到推导公式，并选择相应的算法来实现。

在探寻推导公式的时候，我们使用了两种策略，一是正向推导，二是逆向推导。

实际上，正向推导就是归纳法，其核心思想是从特殊到一般的推理过程，通过对众多的事物特例进行观察和综合，以发现一般规律的推理方法。

而逆序推导就是演绎法，它是一种从普遍性的前提出发，通过逻辑推理得出个别或特殊结论的方法。它基于已知的一般原则或假设，推导出具体的结论，确保如果前提为真，则结论也必然为真。

这是两种非常重要的思维方式，也是我们认识、理解和探索这个世界的基本方法。

二者各有其特点和适用范围，归纳法有助于我们发现新知识和规律，而演绎法则确保从已知前提中得出必然结论。在实际应用中，两种方法常常相互补充，共同推动人类知识的积累和发展。

学习编程不仅仅是学习编程知识，更重要的是培养孩子的思维，包括逻辑思维、数学思维和计算思维。

归纳法和演绎法是逻辑思维的两种具体体现，这两种思维的培养和提升，对于提高我们的逻辑思考能力和问题解决能力至关重要。在平时的学习过程中，要有意识地加强这些思维的训练和提升。

超平老师给你留一道思考题，在上面的递推算法中，我们借助了一个列表用于保存第n分钟的病毒数量，如果不使用数组，是否可以，又该如何实现呢？

你还有什么好的想法和创意吗，也非常欢迎和超平老师分享探讨。

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