原文：一种基于错误的寻找重心方法的点分治的复杂度分析
LCA 还是太神了，研究半天才看明白。
所以这里提供一种说人话版本。
为什么法一是错的？
原文提出了这样一个 hack：
这是三个等长度的共端点的链，初始以红色箭头所指的点为根。
进行第一次分治：
红色箭头所指的点是重心。
此时注意，初始根所在的链，也就是标红的链，我们寻找重心传入的点的总数是 \(\frac{2n}{3}\)，也就是说，在进行下一次分治时，这条链上的点都符合条件。
进行第二次分治：
根据我们 dfs 的过程，虽然这条链上的点都符合条件，我们还是选择了深度最深的点作为重心，也就是红色箭头所指的点。
此时注意，我们下一次分治，传入的点的总数是这个点上方的点，也就是蓝色箭头所指的点，它的子树大小，也就是 \(2\)。
此时我们找不到合法的重心。
为什么法二是对的？
首先考虑，法二求重心时，只考虑连通块内点的相对子树大小关系，也就是无论如何一定能找到一个点，并认为这个点是重心。
所以这种做法一定有正确性，所以我们现在只需要考虑复杂度问题。
为了方便研究，我们来考虑一种情况：
注意这里的变量名和原文有所不同。
其中，\(x\) 是上一层分治的选择的重心，\(x'\) 是上一次分治的根，\(k\) 是以 \(x\) 为根时，\(x'\) 所在的子树的根，\(k'\) 是以 \(k\) 为根时，\(x'\) 所在子树的根，\(a,b\) 分别是 \(x,k'\) 子树大小。
其实不需要对着定义抠字眼，直接看图就很明显。如果还是不明白，考虑分治重心的变化为：\(x' \to x \to k\) 子树内的点。
现在考虑的过程，是做完 \(x\)，递归 \(k\) 子树（\(k\) 子树包括 \(k'\) 子树），寻找新的重心的过程。
考虑传入 \(k\) 子树的点数。
实际上，点数应当为：以 \(x\) 为根时，\(k\) 的子树大小，也就是 \(n-a\)。但是我们用的是：以 \(x'\) 为根时，\(k\) 的子树大小，也就是 \(n-b\)。
我们考虑这个过程会进行很多层，对于每一层都会得到对应的 \(a,b\)，形成 \(a,b\) 序列。
记第 \(i\) 层递归时，正确的点数为 \(N_i\)，则有：
注意原文中下标写混了，硬控我半小时。
关于序列 \(a,b\)，我们有：
- \(b_i \le a_i\)
考虑使用归纳法证明。
-
\(i=1\) 时，\(a_i=b_i\)；
-
下证 \(b_{i-1}\le a_{i-1}\) 时，\(b_i \le a_i\)。
因为 \(b_{i-1} \le a_{i-1}\)，所以 \(N_{i-1} \le N‘_{i-1}\)。
考虑反证法，假设 \(b_i>a_i\)。
又因为 \(N_{i-1} \le N'_{i-1}\)，所以对于 \(x\) 来说，它计算出的最大子树，一定是 \(k\) 子树，所以 \(x\) 最大子树的大小一定 \(\ge b_i\)。
进一步考虑，因为 \(b_i>a_i\)，所以以 \(k\) 为根的最大子树一定严格小于以 \(x\) 为根的最大子树，也就是 \(k\) 而不是 \(x\) 应该是重心，这与条件矛盾，故假设不成立，原命题成立。
考虑感性理解，看图，如果 \(b_i>a_i\)，那么 \(k\) 感觉上就比 \(x\) 更适合做重心。
- \(2a_i \ge N_i\)
属于上一个结论的引申。仿照上例，假设 \(a_i < N_i-a_i\)，那么 \(a_i < N'_i-a_i\)，那么 \(x\) 的最大子树又变成了 \(k\) 子树，而根据上面的证明，\(x\) 的最大子树为 \(k\) 时，会出现矛盾。
因此，假设不成立，原命题成立。
结合上面两个结论，得到：\(2N_i \le N_{i-1}\)，也就是说每次递归，\(N\) 的大小至少减半，因此递归总层数为 \(O(\log n)\)，每层递归访问了 \(O(n)\) 个节点，总复杂度仍然为 \(O(n \log n)\)。
但是听说这样写点分树，树高会出问题，不明白为什么。
