红黑树（Red Black Tree）

红黑树（Red Black Tree）

红黑树（Red Black Tree） 是一种自平衡二叉查找树

红黑树是在1972年由Rudolf Bayer发明的，当时被称为平衡二叉B树（symmetric binary B-trees）后来，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的“红黑树”。

红黑树是一种平衡二叉查找树的变体，它的左右子树高差有可能大于 1，所以红黑树不是严格意义上的平衡二叉树（AVL），在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，但对之进行平衡的代价较低，其平均统计性能要强于 AVL

红黑树的最坏情况运行时间也是非常良好的，并且在实践中是高效的： 它查找，插入和删除的时间复杂度为O(logN)

红黑树的性质
1.节点必须是红色或者黑色
2.树根：必为黑色
3.外部节点：均为黑色 (外部节点就是叶子节点为Null，这个是隐含的定义)
4.其余节点：若为红，则只能有黑色孩子。（所以红色节点的父节点一定是黑色）
5.根到外部节点：途中黑节点数目相等，也就是从跟到任何后代 Null 节点都会经过相同数量黑色节点

这些约束会限制路径上不能有两个连续的红色节点
L1 = 最短的路径(可能都是黑色节点)
L2 = 最长的路径(可能全都是交替的红色和黑色节点)

因为性质 5 要求最长的路径都有相同数目的黑色结点
所以没有路径长度大于其他任何路径的 2 倍

下面是一个按顺序添加到 红黑树构建的一个 红黑树结构
数据：10, 6, 16, 4, 12, 8, 18, 3, 2, 1
在这里插入图片描述
从根节点到外部节点经过的黑色节点数为 3

C# 代码实现如下

    /// <summary>/// 红黑树/// (1)树根：必为黑色/// (2)外部节点：均为黑色 (外部节点就是叶子节点为Null，这个是隐含的定义)/// (3)其余节点：若为红，则只能有黑色孩子。（所以红色节点的父节点一定是黑色）/// (4)根到外部节点：途中黑节点数目相等，也就是从跟到任何后代 Null 节点都会经过相同数量的黑色节点/// </summary>public class RedBlackTree<T> : BSTree<T> where T : IComparable<T>{public override BinNode<T> Insert(T t){BinNode<T> node = Search(t);if (null != node){return node;}//创建新节点以 _hot 为父亲node = Insert(t, _hot);BinNode<T> nodeOld = node;node.Color = Color.Red;node.Height = -1;//双红修正SolveDoubleRed(node);return nodeOld;}public override bool Remove(T t){BinNode<T> node = Search(t);if (null == node){return false;}BinNode<T> r = Remove(node, ref _hot);if (null == Root){return true;}// assert: _hot某一孩子刚被删除，且被r所指节点（可能是null）接替。以下检查是否失衡，并做必要调整if (null == _hot) //若刚被删除的是根节点，则将其置黑，并更新黑高度{Root.Color = Color.Black;UpdateHeight(Root);return true;}// assert: 以下，原x（现r）必非根，_hot必非空if (BlackHeightUpdated(_hot)){return true; //若所有祖先的黑深度依然平衡，则无需调整}if (IsRed(r)) //否则，若r为红，则只需令其转黑{r.Color = Color.Black;r.Height++;return true;}// assert: 以下，原x（现r）均为黑色SolveDoubleBlack(r); //经双黑调整后返回return true; }/// <summary>/// 双红修正/// </summary>protected void SolveDoubleRed(BinNode<T> x){if (x.IsRoot()) //若已（递归）转至树根，则将其转黑，整树黑高度也随之递增{Root.Color = Color.Black;Root.Height++; return;} //否则，x的父亲p必存在BinNode<T> p = x.ParentNode;if (IsBlack(p)){return; //若p为黑，则可终止调整。否则}BinNode<T> g = p.ParentNode; //既然p为红，则x的祖父必存在，且必为黑色BinNode<T> u = Uncle(x); //以下，视x叔父u的颜色分别处理if (IsBlack(u)){ //u为黑色（含null）时 //*DSA*/printf("  case RR-1:\n");if (x.IsLChild() == p.IsLChild()) //若x与p同侧（即zIg-zIg或zAg-zAg），则{p.Color = Color.Black; //p由红转黑，x保持红}else //若x与p异侧（即zIg-zAg或zAg-zIg），则{x.Color = Color.Black; //x由红转黑，p保持红}g.Color = Color.Red; //g必定由黑转红/ 以上虽保证总共两次染色，但因增加了判断而得不偿失/ 在旋转后将根置黑、孩子置红，虽需三次染色但效率更高BinNode<T> gg = g.ParentNode; //曾祖父（great-grand parent）BinNode<T> r = null;//调整后的子树根节点if (g.IsRoot()){r = Root = RotateAt(x); //调整后的子树根节点}else if (g.IsLChild()){r = g.ParentNode.LeftChild = RotateAt(x); //调整后的子树根节点}else{r = g.ParentNode.RightChild = RotateAt(x); //调整后的子树根节点}r.ParentNode = gg; //与原曾祖父联接}else{ //若u为红色 //*DSA*/printf("  case RR-2:\n");p.Color = Color.Black;p.Height++; //p由红转黑u.Color = Color.Black;u.Height++; //u由红转黑if (!g.IsRoot()){g.Color = Color.Red; //g若非根，则转红}SolveDoubleRed(g); //继续调整g（类似于尾递归，可优化为迭代形式）}}/// <summary>/// 双黑修正/// </summary>protected void SolveDoubleBlack(BinNode<T> r){BinNode<T> p = null != r ? r.ParentNode : _hot;if (null == p){return; //r的父亲}BinNode<T> s = (r == p.LeftChild) ? p.RightChild : p.LeftChild; //r的兄弟if (IsBlack(s)){ //兄弟s为黑BinNode<T> t = null; //s的红孩子（若左、右孩子皆红，左者优先；皆黑时为null）if (null != s && IsRed(s.RightChild)){t = s.RightChild; //右子}if (null != s && IsRed(s.LeftChild)){t = s.LeftChild; //左子}if (null != t){ //黑s有红孩子：BB-1//*DSA*/printf("  case BB-1: Child ("); print(s.LeftChild); printf(") of BLACK sibling ("); print(s); printf(") is RED\n");Color oldColor = p.Color; //备份原子树根节点p颜色，并对t及其父亲、祖父// 以下，通过旋转重平衡，并将新子树的左、右孩子染黑BinNode<T> b = null;if (p.IsRoot()){b = Root = RotateAt(t); //旋转}else if (p.IsLChild()){b = p.ParentNode.LeftChild = RotateAt(t);  //旋转}else{b = p.ParentNode.RightChild = RotateAt(t);  //旋转}//左子if (b.HasLChild()){b.LeftChild.Color = Color.Black;UpdateHeight(b.LeftChild);}//右子if (b.HasRChild()){b.RightChild.Color = Color.Black;UpdateHeight(b.RightChild);} b.Color = oldColor;UpdateHeight(b); //新子树根节点继承原根节点的颜色}else //黑s无红孩子{ if (null != s){s.Color = Color.Red;s.Height--; //s转红}if (IsRed(p))//BB-2R{ //*DSA*/printf("  case BB-2R: Both children ("); print(s.LeftChild); printf(") and ("); print(s.RightChild); printf(") of BLACK sibling ("); print(s); printf(") are BLACK, and parent ("); print(p); printf(") is RED\n"); //s孩子均黑，p红p.Color = Color.Black; //p转黑，但黑高度不变//*DSA*/printBinTree(p, 0, 0);}else{ //BB-2B//*DSA*/printf("  case BB-2R: Both children ("); print(s.LeftChild); printf(") and ("); print(s.RightChild); printf(") of BLACK sibling ("); print(s); printf(") are BLACK, and parent ("); print(p); printf(") is BLACK\n"); //s孩子均黑，p黑p.Height--; //p保持黑，但黑高度下降//*DSA*/printBinTree(p, 0, 0);SolveDoubleBlack(p); //递归上溯}}}else{ //兄弟s为红：BB-3//*DSA*/printf("  case BB-3: sibling ("); print(s); printf(" is RED\n"); //s红（双子俱黑）s.Color = Color.Black;p.Color = Color.Red; //s转黑，p转红BinNode<T> t = s.IsLChild() ? s.LeftChild : s.RightChild; //取t与其父s同侧_hot = p;if (null != t){if (p.IsRoot()){Root = RotateAt(t); //对t及其父亲、祖父做平衡调整}else if (p.IsLChild()){p.ParentNode.LeftChild = RotateAt(t); //对t及其父亲、祖父做平衡调整}else{p.ParentNode.RightChild = RotateAt(t); //对t及其父亲、祖父做平衡调整}}SolveDoubleBlack(r); //继续修正r处双黑——此时的p已转红，故后续只能是BB-1或BB-2R}}// 更新节点高度protected override int UpdateHeight(BinNode<T> node){node.Height = Math.Max(NodeHeight(node.LeftChild), NodeHeight(node.RightChild));// 红黑树中各节点左、右孩子的黑高度通常相等// 这里之所以取更大值，是便于在删除节点后的平衡调整过程中，正确更新被删除节点父亲的黑高度// 否则，rotateAt()会根据被删除节点的替代者（高度小一）设置父节点的黑高度if (IsBlack(node)) // 只记黑节点{node.Height++;}return node.Height;}protected bool BlackHeightUpdated(BinNode<T> node){int Height = IsRed(node) ? NodeHeight(node.LeftChild) : (NodeHeight(node.LeftChild) + 1);if (   (NodeHeight(node.LeftChild) == NodeHeight(node.RightChild))&& (node.Height == Height)){return true;}return false;}public BinNode<T> Uncle(BinNode<T> node){if (node.ParentNode.IsLChild()){return node.ParentNode.ParentNode.RightChild;}return node.ParentNode.ParentNode.LeftChild;}// 外部节点也视作黑节点private bool IsBlack(BinNode<T> node){return null == node || node.Color == Color.Black;}// 非黑即红private bool IsRed(BinNode<T> node){return !IsBlack(node);}}

红黑树是继承自 二叉搜索树的，上面代码没有 查询函数的实现，因为红黑树的查询跟 二叉搜索树是一样的，所以直接继承子 二叉搜索树，相关代码请到我关于二叉搜索树的篇章寻找

运行效果
在这里插入图片描述
上图中 带 _B 的是黑色节点， 外部节点没有绘制

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