一、物理结构和逻辑结构
在内存中的存储结构，逻辑结构为想象出来的存储结构。
二、完全二叉树的顺序存储结构
parent = (child - 1)/2
leftchild = 2*parent + 1;
rightchild = 2*parent +2
上面的顺序结构只适合存储完全二叉树。如果存储，会浪费很多的空间。
三、堆
1、堆的分类
小根堆：树中所有的父亲都小于或等于孩子。
大根堆：树中所有的父亲都大于或等于孩子。
接下来我们需要定义一个堆。定义过程如下：
创建堆的时候会涉及到一个向上调整的算法：我们可以画图表示这一过程
void UpAdjust(HPDataType* a, int child)
{assert(a);int parent = (child - 1) / 2;//建立大堆while (child > 0){if (a[child] > a[parent]){//交换两个数字Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}删除堆顶数据需要涉及到向下调整
这里不能挪动数据。原因有两个，效率低下，父子兄弟关系全乱了。
思路就是：把头部数据和尾部数据交换。删除尾部数据，然后进行向下调整
这样删除的优点是 效率高，保持了大部分堆的父子关系。
向下调整的过程中我们需要和儿子中最大的进行比较。这样才能保证堆的关系不变。
没有孩子时结束，转换一下就是child < size。
void DownAdjust(HPDataType* a,int parent,int size)
{int child = 2 * parent + 1;while (child < size){ //选出最大的那一个孩子if (child + 1 < size && a[child] < a[child + 1]){child++;}if (a[child] > a[parent]){//交换两个数字Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}整体实现
#include "heap.h"void HeapInit(HP* hp)
{assert(hp);hp->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * SIZE);hp->size = 0;hp->capacity = SIZE;
}void AddCapacity(HP* hp)
{assert(hp);if (hp->size == hp->capacity){HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * hp->capacity * 2);if (temp == NULL){perror("realloc failed");return;}hp->a = temp;hp->capacity *= 2;}
}
void Swap(int* left, int* right)
{int temp = *left;*left = *right;*right = temp;
}
//除了child的位置，前面的数据构成堆
void UpAdjust(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//建立大堆while (child > 0){if (a[child] > a[parent]){//交换两个数字Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}void HeapPush(HP* hp, HPDataType x)
{//考虑扩容的问题AddCapacity(hp);//插入数据hp->a[hp->size++] = x;//还需要考虑向上调整的问题。UpAdjust(hp->a, hp->size - 1);
}void DownAdjust(HPDataType* a,int parent,int size)
{int child = 2 * parent + 1;while (child < size){ //选出最大的那一个孩子if (child + 1 < size && a[child] < a[child + 1]){child++;}if (a[child] > a[parent]){//交换两个数字Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}
//删除头部的数据
void HeapPop(HP* hp)
{assert(hp);assert(!HeapEmpty(hp));//首先交换头和尾的数字Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size-1]);//然后删除尾的数字hp->size--;//向下调整恢复堆的原型 向下调整的左右子树一定是堆DownAdjust(hp->a, 0, hp->size);
}HPDataType HeapTop(HP* hp)
{assert(hp);return hp->a[0];
}
bool HeapEmpty(HP* hp)
{assert(hp);return hp->size == 0;
}
int HeapSize(HP* hp)
{assert(hp);return hp->size;
}四、堆排
对数组进行排序。我们可以把它直接搞成一个堆，建堆操作
1、向上调整建堆
（1）把第一个数看成一个堆中的数。后来的数进行向上调整建立堆。 O(nlogn)
（2）排升序需要建大堆，减小堆关系就都乱了
利用向上调整建大堆时我们可以交换堆头和堆尾的值。然后在进行向下调整选出次小的值，如此往复。
堆排的过程如下
堆排代码：
void HeapSort(int* a,int n)
{//首先建立大堆for (int i = 1; i < n; i++){UpAdjust(a, i);}//交换堆头和堆尾的数字选出最大的数字放到堆尾//然后向下调整int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&a[end], &a[0]);DownAdjust(a, 0, end);end--;}
}
