电机控制专题(一)——最大转矩电流比MTPA控制

前言

MTPA全称为Max Torque Per Ampere，从字面意思就可以知道MTPA算法的目的是一个寻优最值问题，可以从以下两个角度理解。

• 在同一电磁转矩需求下，如何利用最小幅值的定子电流来产生；
• 在同一额定电流情况下，如何合理利用定子电流产生最大的电磁转矩。

本文先从理论推导开始，再到仿真验证MTPA算法，总结MTPA的相关知识。

纯小白，如有不当，轻喷，还请指出。

理论推导

记转矩角（电流矢量与d轴夹角）为$\gamma$，则dq轴电流可以表示如下：
$i_d=I_{s}cos\gamma$ (1)
$i_q=I_{s}sin\gamma$ (2)
其中$I_s$为定子电流幅值。

dq轴下PMSM的转矩方程为：
$T_e=\frac{3}{2}{p}_n{i}_q\psi +(L_d-L_q)i_d{i}_q$(3)
其中$p_n$为极对数，$\psi$为永磁体磁链，$L_d,L_q$为分别为dq轴的电感。式(4)右边的第一项成为永磁转矩，第二项称为磁阻转矩。

将式(1)(2)代入式(3)并化简可得
$T_e=\frac{3}{2}{p}_n{I}_s\psi sin\gamma +\frac{3}{4}{p}_n{I}_s^2(L_d-L_q)sin2\gamma$ (4)

MTPA可以从两个角度理解

1. 最小的电流产生同等大的电磁转矩
2. 同等大小的定子电流产生最大的电磁转矩

因此从第二个角度理解MTPA，就变成了求(4)式的在$I_s$恒定，以转矩角$\gamma$为变量的极值问题。

对(4)式求偏导并另其等于0，化简可得：
$\frac{\partial T_e}{\partial \gamma }=2I_s(L_d-L_q)co{s}^2\gamma +\psi cos\gamma -I_s(L_d-L_q)=0$ (5)

(5)式是一个一元二次方程，利用求根公式可解得
$cos{\gamma }_1=\frac{-\psi +\sqrt{{\psi }^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4I_s(L_d-L_q)},cos{\gamma }_2=\frac{-\psi -\sqrt{{\psi }^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4I_s(L_d-L_q)}$ (6)

求解得到的两个转矩角究竟哪一个是我们想要的呢？

容易注意到 $\psi <\sqrt{{\psi }^2+8I_s^2(L_d-L_q{)}^2}$，且绝大多数的IPMSM的d轴电感小于q轴电感。因此$cos{\gamma }_1<0,cos{\gamma }_2>0$。

MTPA就是要利用电机的凸极效应，合理分配定子电流一部分作为$i_d$，另一部分作为$i_q$，$i_d$可以用于产生磁阻转矩（电磁转矩式3等式右边的第二项）。因此d轴电流只能是负的。

那么由式(1)可知$cos\gamma <0$。

因此真正能实现MTPA的转矩角为
$\gamma =arccos(\frac{-\psi +\sqrt{{\psi }^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4I_s(L_d-L_q)})$ (7)

此时的d轴电流和q轴电流可计算得
$i_d=I_{s}cos\gamma =I_s\frac{-\psi +\sqrt{{\psi }^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4(L_d-L_q)}$ (8)
$i_q=\sqrt{I_s^2-i_d^2}$ (9)

值得一提的是，转速环的输出应当是转矩指令值，而转矩和电流存在一定的线性关系，因此可以直接作为电流指令值。最简单的矢量控制$i_0\equiv 0$中，转速环的输出直接作为q轴电流的指令值；而在MTPA中，转速环输出的转矩指令值，应当由整个全部的定子电流来提供，即转速环的输出为定子电流幅值指令值，而非q轴电流指令。

仿真验证

为了直观看出使用MTPA的有效性，对一台具有高凸极比IPMSM（磁阻转矩成分更大）进行仿真。

仿真参数设置如下：
$L_d=3.5mH,L_q=12mH,\psi =0.17Wb,U_{dc}=311V$

转速500rpm，带轻载（1Nm）和带重载（30Nm）工况下运行。0.1s之前施加$i_d\equiv 0$控制，0.1s后施加MTPA算法，总仿真时间0.2s。

轻载1N·m

dq轴电流和三相电流波形图下


可见在施加MTPA控制之后并没有明显的效果。

原因如下：
由于所带负载较小，定子电流的幅值也小。此时的转矩角

$\gamma =arccos(\frac{-\psi +\sqrt{{\psi }^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4I_s(L_d-L_q)})\approx arccos(\frac{-\psi +\sqrt{{\psi }^2}}{4I_s(L_d-L_q)})=90°$
此时的d轴电流指令值$I_d\approx I_{s}cos\gamma =0$。

所以施加MTPA之后，并没有客观的负的d轴电流来产生磁阻转矩。

重载30N·m

dq轴电流和三相电流波形图如下


仿真结果说明，在带重载的情况下，所需的电磁转矩大，施加MTPA控制以后，d轴指令值从0变为-10A，q轴指令值从30降为18A，即利用了电机的凸极效应，合理分配了相电流以产生磁阻转矩。

从三相电流波形可以看出，施加MTPA后，定子电流幅值从30A减为20A，即使用更小的定子电流产生同等的电磁转矩，此即MTPA的目的。

总结

MTPA算法的目的在于充分利用电机的凸极效应来合理分配电流，其中一部分用于产生永磁转矩，另一部分用于产生电磁转矩，达到小电流，大转矩的效果。

值得注意以下两点

1. MTPA的推导基于精确的电机模型，但实际情况下电机模型参数大多是未知，且容易收到温度等因素的干扰。因此在实际应用该算法时需注意模型参数的敏感性，必要时需结合在线参数辨识等技术。
2. 在实际应用中，为了减小微控制器的运算负担，式(8)(9)并不会在线计算。而是通过提前离线计算并制表，在线查表的方式来得到dq轴电流设定。