1. 概念

托普利兹矩阵，简称为T型矩阵，托普利兹矩阵的主对角线上的元素相等，平行于主对角线的线上的元素也相等；矩阵中的各元素关于次对角线对称，即T型矩阵为次对称矩阵。即 $a_{ij}=a_{ji}$

2. Matlab简单测试

2.1 生成测试

Matlab中可以用toeplitz(x,y)。它生成一个以 x 为第一列，y 为第一行的托普利兹矩阵。
函数中x=(x1,x2,…,xk) y=(y1,y2,…,yj)为向量形式，代表托普利兹矩阵的第一行、第一列。

x=[1, 2, 3, 3, 4, 4];
y=[1, 3, 3, 2, 3, 4];
T=toeplitz(x,y)

生成结果如下：

ans =1     3     3     2     3     42     1     3     3     2     33     2     1     3     3     23     3     2     1     3     34     3     3     2     1     34     4     3     3     2     1

2.2 基本性质及原理

其中，最基础的性质，是托普利兹矩阵可以表示为前向位移矩阵和后向位移矩阵之和。

• 前向位移矩阵
  $$F=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& ...& 0\\ 0& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& 1\\ 0& ...& 0& 0\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$$
• 后向位移矩阵
  $$B=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& ...& 0\\ 1& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& 0\\ 0& ...& 1& 0\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$$
• 基于性质 前向、后向矩阵幂次和

$$T=\sum _{k-1}^{n-1}{t}_{-k}{B}^k+\sum _{k=0}^{n-1}{t}_k{F}^k$$

式中，$t_{-k}$和$t_k$分别为（预先定义好的）系数。

2.3 性质验证

• 简单前向后向矩阵 后向矩阵 的幂次性质

n = 5; % Define the size of the matrix
F = diag(ones(1, n-1), 1); % Create the forward matrix
B = F'

这性质确实有点意思… 位置变化了

>> B^2ans =0     0     0     0     00     0     0     0     01     0     0     0     00     1     0     0     00     0     1     0     0>> B^3ans =0     0     0     0     00     0     0     0     00     0     0     0     01     0     0     0     00     1     0     0     0>> B^4ans =0     0     0     0     00     0     0     0     00     0     0     0     00     0     0     0     01     0     0     0     0>> F^2ans =0     0     1     0     00     0     0     1     00     0     0     0     10     0     0     0     00     0     0     0     0>> F^3ans =0     0     0     1     00     0     0     0     10     0     0     0     00     0     0     0     00     0     0     0     0>> F^4ans =0     0     0     0     10     0     0     0     00     0     0     0     00     0     0     0     00     0     0     0     0

• 生成 托普利兹矩阵

n = 5; % Define the size of the matrix
F = diag(ones(1, n-1), 1); % Create the forward matrix
B = F';% Define the coefficients t_{-k} and t_k
t_neg = [1, 2, 3, 4, 5]; % Example coefficients for t_{-k}
t_pos = [1, 3, 3, 2, 1]; % Example coefficients for t_kT = zeros(n); % Initialize the Toeplitz matrixfor k = 1:nT = T + t_neg(k) * (B^(k-1));
endfor k = 2:nT = T + t_pos(k) * (F^(k-1));
end

定义的信息如下：
t_neg = [1, 2, 3, 4, 5]; % Example coefficients for t_{-k}
t_pos = [1, 3, 3, 2, 1]; % Example coefficients for t_k

T =1     3     3     2     12     1     3     3     23     2     1     3     34     3     2     1     35     4     3     2     1

3. 其他应用总结

3.1 其他性质

• Python实现版本可以参考哈工大 赵老师的博客。

• 其他的一些性质，

• • 包括可以高效率的计算卷积…
• • 对于Ax=b的系统（线性代数中），当A为托普利兹矩阵时，可以称其为托普利兹系统， 且此时的系统自由度为2-1而不是n^2, (究其原因，和托普利兹矩阵的形式有关)， 因此，可以用Levinson求解方法快速计算
• • 托普利兹矩阵可以被分解，如LU分解中的Bareiss算法

PS: LU分解，顾名思义，L 是单位下三角矩阵， U 是单位上三角矩阵。 LU分解有两种实现，分别是. Gauss消去法. 待定系数法.

• • 关于对称块矩阵(Block Toepliz)和对称矩阵（Toepliz） 虽然托普利茨矩阵具有与对角线恒定性相关的特定特征，但对称块矩阵的特征在于其子矩阵的对称性。

这些具体的性质，等到需要用的时候，再推导吧…

3.2 文献阅读看到的

对于一些工程应用，最近在一篇论文中，就用到了这个性质，需要分析一个能量传播矩阵，这个能量传播矩阵可以表示为一个近似的对称块托普利兹矩阵，因此，可以利用其卷积性质，得到不变卷积核：

参考资料

【1】-csdn 托普利兹矩阵