DP（区间DP）-编程知识

石子合并

合并果子（贪心 Huffman树）

环形石子合并

石子合并

设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1,2,3,…,N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4 堆石子分别为 1 3 5 2，我们可以先合并 1、2堆，代价为 4，得到 4 5 2，又合并 1、2堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24

如果第二步是先合并 2、3堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数 N 表示石子的堆数 N。

第二行 N 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

1≤N≤300

输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

每个状态只会依赖比它长度更短的其他状态，所以先枚举长度可以保证在计算每个状态之前，先计算出它所依赖的状态。

如果先枚举 i

可以知道

起点小于 i 的所有情况；

起点为i，长度小于 len的所有情况

不能知道

起点大于i 的所有情况

起点为i，长度大于 len的情况

如果先枚举 len

可以知道

长度小于 len的所有情况

长度为 len，起点小于 i 的所有情况

不能知道

长度大于 len的所有情况

长度为 len，起点大于 i 的情况

需求：

f[i][k] ：起点为 i，长度为 k - i + 1 < len 两种都可以

f[k+1][j] ：起点为 k + 1 > i，长度为 j - k < len 不能先枚举 i

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=330;
int f[N][N];//f[i][j]表示第i堆石子到第j堆石子（一段区间）合并成一堆需要的最小代价
int w[N],s[N];
int main()
{int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];memset(f,0x3f,sizeof f);//求最小值 故需要初始化最大for(int i=0;i<=n;i++) f[i][i]=0;//i到i只有自己 不需要花费 for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+w[i];//前缀和for(int len=2;len<=n;len++){for(int i=1;i+len-1<=n;i++)//枚举长度{int l=i,r=i+len-1;//区间的左端点 右端点for(int k=1;k<r;k++){//计算i到j 合并成一堆 最后肯定是 在l--r区间中一个分界线合成一堆 //先不求最后那一和 合成左堆最小代价 f[l][k] 合成右堆的最小代价 f[k+1][r]//最后一步将左右两堆合起来 左堆的最小代价+右堆的最小代价+（合成最后一步就是l-r的代价）f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);}}}cout<<f[1][n]<<endl;//输出从第一堆石子到第n堆石子合并为一堆石子的最小代价return 0;
}

合并果子（贪心 Huffman树）

在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。

达达决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，达达可以把两堆果子(任意两堆，不受限制）合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。

可以看出，所有的果子经过 n−1 次合并之后，就只剩下一堆了。

达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。

假定每个果子重量都为 1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 3 种果子，数目依次为 1，2，9。

可以先将 1、2堆合并，新堆数目为 3，耗费体力为 3。

接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 12，耗费体力为 12。

所以达达总共耗费体力=3+12=15。

可以证明 15 为最小的体力耗费值。

输入格式

输入包括两行，第一行是一个整数 n，表示果子的种类数。

第二行包含 n 个整数，用空格分隔，第 i 个整数 ai 是第 i 种果子的数目。

输出格式

输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。

输入数据保证这个值小于 231。

数据范围

1≤n≤10000
1≤ai≤20000

输入样例：

3 
1 2 9

输出样例：

经典的Huffman树每次合并重量最小的两堆果子即可

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
int main()
{priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>heap;int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){int a;cin>>a;heap.push(a);}int ans=0;while(heap.size()>1){int x1=heap.top();heap.pop();int x2=heap.top();heap.pop();ans+=x1+x2;heap.push(x1+x2);}cout<<ans<<endl;return 0;
}

环形石子合并

将 n 堆石子绕圆形操场排放，现要将石子有序地合并成一堆。

规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记做该次合并的得分。

请编写一个程序，读入堆数 n 及每堆的石子数，并进行如下计算：

选择一种合并石子的方案，使得做 n−1次合并得分总和最大。
选择一种合并石子的方案，使得做 n−1 次合并得分总和最小。

输入格式

第一行包含整数 n，表示共有 n 堆石子。

第二行包含 n 个整数，分别表示每堆石子的数量。

输出格式

输出共两行：

第一行为合并得分总和最小值，

第二行为合并得分总和最大值。

数据范围

1≤n≤200

输入样例：

4
4 5 9 4

输出样例：

43
54

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=440;
int f[N][N],g[N][N];
int w[N],s[N];
int main()
{int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>w[i];w[i+n]=w[i];}for(int i=1;i<=2*n;i++) s[i]=s[i-1]+w[i];memset(f,0x3f,sizeof f);//求最小值 故初始化成大的memset(g,-0x3f,sizeof g);//求最大值 故初始化成小的for(int len=1;len<=n;len++){for(int i=1;i+len-1<=2*n;i++){int l=i,r=i+len-1;if(l==r){f[l][r]=0,g[l][r]=0;//只有自己一堆的时候 不需要花费}for(int k=l;k<r;k++){f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);g[l][r]=max(g[l][r],g[l][k]+g[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);}}}int min1=0x3f3f3f3f,max1=-0x3f3f3f3f;for(int i=1;i<=n;i++){min1=min(min1,f[i][i+n-1]);max1=max(max1,g[i][i+n-1]);}cout<<min1<<endl<<max1<<endl;return 0;
}