题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 200

解题方法

动态规划

这道题和第63题相似。
我们设$f(i,j)$为机器人从左上角走到$(i,j)$的最小数字总和，若机器人在$(i,j)$处，则机器人上一步的位置在$(i-1,j)$或者$(i,j-1)$处，由此可推出，

• 当 $i>0$ 且 $j>0$ 时，$f(i,j)=min(f(i-1,j),f(i,j-1))+grid[i][j]$
• 当 $i=0$ 且 $j=0$ 时，$f(i,j)=grid[i][j]$
• 当 $i>0$ 且 $j=0$ 时，$f(i,j)=f(i-1,j)+grid[i][j]$
• 当 $i=0$ 且 $j>0$ 时，$f(i,j)=f(i,j-1)+grid[i][j]$

java代码

public int minPathSum(int[][] grid) {int m = grid.length;int n = grid[0].length;int[][] dp = new int[m][n];dp[0][0] = grid[0][0];for (int i = 1; i < m; i++) {dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];}for (int i = 1; i < n; i++) {dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];}for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];}}return dp[m - 1][n - 1];
}

复杂度分析

时间复杂度：$O(m\ast n)$，需要遍历一次数组。
空间复杂度：$O(m\ast n)$，需要提供dp数组的存储空间。

相似题目

[leetcode] 62. 不同路径
[leetcode] 63. 不同路径 II

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