题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10⁹

解题方法

方法一：动态规划

我们设$f(i,j)$为机器人从左上角走到$(i,j)$的路径数量，若机器人在$(i,j)$处，则机器人上一步的位置在$(i-1,j)$或者$(i,j-1)$处，由此可推出

• 当 $i>0$ 且 $j>0$ 时，$f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1)$
• 当 $i=0$ 或 $j=0$ 时，$f(i,j)=1$

根据以上规律可完成代码实现。

java代码

public int uniquePaths(int m, int n) {int[][] dp = new int[m][n];for (int i = 0; i < m; i++) {dp[i][0] = 1;}for (int i = 0; i < n; i++) {dp[0][i] = 1;}for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];}}return dp[m - 1][n - 1];
}

复杂度分析

时间复杂度：$O(M\ast N)$，需要遍历一次dp数组。
空间复杂度：$O(M\ast N)$，需要提供dp数组的存储空间。

方法二：排列组合

从左上角到右下角，需要 m - 1 次向下移动，n - 1 次向右移动，一共需要进行 m + n - 2 次移动。满足排列组合的规律，则总的路径条数为

$C_{m+n-2}^{m-1}=\frac{(m+n-2)\ast (m+n-1)\ast ...\ast (n-1)}{(m-1)!}$

我们只需要编程实现计算排列组合总数。

java代码

public int uniquePaths(int m, int n) {// 取m和n之中的较小值，减少计算排列组合的次数。int small = Math.min(m, n) - 1;// 类型取double防止相乘的最终结果超出类型范围double a = 1;double b = 1;int total = m + n - 2;for (int i = 0; i < small; i++) {a = a * (total - i);b = b * (i + 1);}return (int) (a / b);
}

复杂度分析

时间复杂度：$O(min(m,n))$，计算排列组合需要参与遍历的次数。
空间复杂度：$O(1)$，只需要提供常数级别的空间存储。

相似题目

[leetcode] 63. 不同路径 II

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