##前缀和
指的是某序列的前n项和，在数学上我们可以理解称为数列的前n项和。前缀和是一种预处理，用于降低查询的时间复杂度。
##一维前缀和
有一个一维数组x和该数组的前缀和数组y，则x和y具有以下关系：
#python代码示例
#关系：y0 = x0, y1 = x0 + x1, y2 = x0 + x1 + x2…… #python示例 for i,x in enumerate(x):if i == 0 :y[i] = x[i]else:y[i] = y[i-1] + x[i]
arr = [1,2,3,4,5]
sum = [0] * (5 + 6)
sum[0] = 0
for i,x in enumerate(arr):sum[i] = arr[i - 1] + sum[i - 1]
for i,x in enumerate(sum):print("{}-{}".format(i,x))
#c++代码示例
#关系：y0 = x0, y1 = x0 + x1, y2 = x0 + x1 + x2……
#c++示例for (int i = 0 ; i < n ; i++)
{
if (i == 0)
{
y[i] = x[i] ;
}
else
{
y[i] = y[i-1] + x[i] ;
}
}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std ;int main()
{int arr[5] = {1,2,3,4,5} ;int sum[6] ;sum[0] = 0 ;for (int i = 1 ; i < 6 ; i++){sum[i] = arr[i - 1] + sum[i - 1] ;}for (auto i : sum){cout << i <<' ';}return 0 ;
}【模板】前缀和_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)
//c++代码示例
#include <iostream>
using namespace std;
int a[101010] ;
long long sum[101010] ;
int main() {int n,q;cin >> n >> q ;for (int i = 1 ; i <= n ; i++){cin>>a[i],sum[i] = sum[i - 1] + a[i] ;}// int a, b;// while (cin >> a >> b) { // 注意 while 处理多个 case// cout << a + b << endl;// }while (q--){int l,r ;cin >> l >> r ;cout << sum[r] - sum[l - 1] << endl;}
}
// 64 位输出请用 printf("%lld")#python代码示例
import sys# for line in sys.stdin:
# a = line.split()
# print(int(a[0]) + int(a[1]))n, q = map(int, input().strip().split())
data = list(map(int, input().strip().split()))
pre = [0 for _ in range(n)]
pre[0] = data[0]
for i in range(1, n):pre[i] = pre[i - 1] + data[i]
for i in range(q):l, r = map(int, input().strip().split())res = pre[r - 1] - pre[l - 1] + data[l - 1]print(res)##二维前缀和
有一个二维数组a和一个二维前缀和数组b，具有以下关系：
b(x),(y) = b(x-1),(y) + b(x),(y-1) + b(x-1),(y-1) + a(x),(y)
说白了每一个格子的值是从哪里得来的，只能从格子的上方和左方得到，但是在更新每个格子的值的时候，我们需要把第1列和第1行的特殊位置进行更新好，第一列的元素值只能从上方传递过来，第一行的元素只能从左边传递过来。
##改进，增加了冗余列和行
#python示例
for i in range(len(a)):for j in range(len(a[0])):if i == 0 and j == 0 :b[i][j] = a[i][j]if i == 0 : # 第一行b[i][j] = b[i][j-1] + a[i][j]if j == 0 : # 第一列b[i][j] = b[i-1][j] + a[i][j]if i != 0 and j != 0 :b[i][j] = b[i-1][j] + b[i][j-1] + b[i-1][j-1] + a[i][j]
【模板】二维前缀和_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)
#pthon代码示例
while True:try:n, m, q = map(int, input().split())l = []for _ in range(n):l.append(list(map(int, input().split())))# dp[i][j]表示起点到l[i-1][j-1]的子矩阵的和dp = [[0 for i in range(m + 1)] for j in range(n + 1)] # 让dp坐标与x1,y1,x2,y2,对齐 并且添加两个辅助列for i in range(1, n + 1): # 行for j in range(1, m + 1): # 列# 状态转移方程，dp[i][j]等于其上方所有行之和加上其左方所有列之和减去其左上方行列交叉导致的减掉双倍区域，再加上本单元格的值dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + l[i - 1][j - 1] - dp[i - 1][j - 1]print(dp)for k in range(q):x1, y1, x2, y2 = map(int, input().split())# (x1, y1) 为左上角 , (x2,y2) 为右下角的子矩阵的和。x2,y2的值 减去 x1, y1上面的行左边的列，再加上重叠相减的部分num = dp[x2][y2] + dp[x1 - 1][y1 - 1] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1]print(num)except:break//c++代码示例
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int main() {// int a, b;// while (cin >> a >> b) { // 注意 while 处理多个 case// cout << a + b << endl;// }int n,m,q;cin>>n>>m>>q ;long long tmpv ;vector<vector<long long>> v(n+1,vector<long long>(m+1, 0));for (int i = 1; i <= n ; i++){long long sum = 0 ;for (int j = 1 ; j <= m ; j++){scanf("%ld",&tmpv) ;sum += tmpv ;v[i][j] = sum + (i > 1 ? v[i-1][j] : 0) ;}}for (int i = 0 ; i < q ; ++i){int x1,y1,x2,y2 ;cin>>x1>>y1>>x2>>y2 ;cout<<v[x2][y2] - v[x1-1][y2] - v[x2][y1-1] + v[x1-1][y1-1]<<endl;}return 0 ;
}
// 64 位输出请用 printf("%lld")#c++代码示例
for (int i = 0 ; i < n ; i++)
{
for (int j = 0 ; j < m ; j++)
{
if (i == 0 && j == 0)
{
b[i][j] = a[i][j] ;
}
if (i == 0)
{
b[i][j] = a[i][j - 1] + a[i][j];
}
if (j == 0)
{
b[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j];
}
if (i != 0 && j != 0)
{
b[i][j] = b[i-1][j] + b[i][j-1] + b[i-1][j-1] + a[i][j] ;
}
}
}
