二叉树进阶 --- 上

目录

1. 二叉搜索树的概念及结构

1.1. 二叉搜索树的概念

1.2. 二叉搜索树的结构样例

2. 二叉搜索树的实现

2.1. insert 的非递归实现

2.2. find 的非递归实现

2.3. erase 的非递归实现

2.3.1. 第一种情况：所删除的节点的左孩子为空

2.3.1.1. 错误的代码

2.3.1.2. 正确的代码

2.3.2. 第二种情况：所删除的节点的右孩子为空

2.3.2.1. 正确的代码

2.3.3. 第三种情况：所删除的节点有两个非空节点 && 找右子树的最左节点

2.3.3.1. 有错误的代码

2.3.3.2. 正确的代码

2.3.4. erase的完整实现如下

1. 二叉搜索树的概念及结构

学习二叉搜索树的一些原因：

  • map 和 set 特性需要先铺垫二叉搜索树，而二叉搜索树也是一种树形结构；
  • 二叉搜索树的特性了解，有助于更好的理解 map 和 set 的特性。

1.1. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树(Binary Search Tree，简称BST) 又名为二叉排序树或者是二叉查找树。它可能是一棵空树，或者是满足下面性质的二叉树：

  • 如果它的左子树不为空，那么左子树上的所有节点的值都要小于根节点的值；
  • 如果它的右子树不为空，那么右子树上的所有节点的值都要大于根节点的值；
  • 它的左右子树也是一颗二叉搜索树。

对于一颗二叉搜索树，它的中序遍历可以得到有序的数据；

需要注意的是，二叉搜索树要求每个节点的值都唯一，如果存在重复的值，可以在节点中添加计数器来解决。

1.2. 二叉搜索树的结构样例

一棵树是否是一颗二叉搜索树，必须要符合二叉搜索树的性质。

 为了更好地理解二叉搜索树，我们需要其进行模拟实现：

2. 二叉搜索树的实现

2.1. insert 的非递归实现

对于二叉搜索树的插入，我们需要满足插入后的二叉树仍旧是一颗二叉搜索树，也就是说，插入的元素必须要被插入到特定的位置，以维持二叉搜索树的结构。如上图所示，如果要插入14，那么它的位置是确定的，如下图所示： 

因此 insert 的具体实现我们可以分解为两个过程：

  • 第一步：找到要插入元素的位置；
  • 第二步：插入元素，完成连接关系。 

注意：在这里实现的二叉搜索树的每个值具有唯一性，相同值不插入。

bool insert(const T& key)
{// 1. 如果是空树,直接对_root赋值即可,插入成功并返回trueif (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}else{// step 1: 先找目标位置Node* cur = _root;// 为了更好的连接新节点, 因此记录父节点Node* parent = nullptr;while (cur){// 如果当前节点的Key大于目标Key// 当前节点应该向左子树走if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}// 如果当前节点的Key小于目标Key// 当前节点应该向右子树走else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{// 找到了相同的 key, 在这里不插入return false;}}// cur 走到了空, 即 cur 就是合适的位置cur = new Node(key);// 我们需要判断cur是parent的左节点还是右节点// 如果key小于parent的key,那么插入左节点if (key < parent->_key)parent->_left = cur;// 反之连接到右节点elseparent->_right = cur;return true;}
}

2.2. find 的非递归实现

find 就很简单了，没什么要说的，根据传递的 key 进行判断，大于当前节点，那么当前节点向左走，反之向右走，如果相等，返回true，循环结束，则说明没有这个key，实现如下：

bool find(const T& key)
{// 1. 从根节点开始Node* cur = _root;while (cur){// 2. 如果当前关键字大于目标关键字,那么向左子树走if (cur->_key > key)cur = cur->_left;// 3. 如果小于目标关键字,那么向右子树走else if (cur->_key < key)cur = cur->_right;// 4. 相等，就返回trueelsereturn true;}// 5. 循环结束,说明没找到, 返回falsereturn false;
}

2.3. erase 的非递归实现

对于搜索二叉树来说，真正有一些难度的是删除，对于删除我们可以分解为不同的情况，根据对应的情况，以特点方式解决。

在这里我们分为三种情况：

  • 所删除的节点的左孩子为空：托孤法删除；
  • 所删除的节点的右孩子为空：托孤法删除；
  • 所删除的节点的有两个非空孩子：替代法删除。

注意：对于叶子结点的处理可以归为第一类情况或者第二类情况。

为了可以更好的理解上面的三种情况，我们用图来说话：

2.3.1. 第一种情况：所删除的节点的左孩子为空

如图所示：假如现在我们要删除的节点是15节点，可以发现它的左孩子为空，那么如何删除呢？

 我们的方法是托孤法删除，什么叫托孤法删除呢？

就是将15的非空孩子(在这里就是19)交给它的父亲节点(在这里就是8)，如图所示：

注意：在这里一定是父亲节点的右孩子指向被删除的节点的非空孩子吗？

答案是，不一定，我们需要根据被删除节点和父亲节点的关系判断：

  • 如果被删除节点是父亲节点的右孩子，那么在这里就是父亲节点的右孩子指向被删除节点的非空节点；
  • 如果被删除节点是父亲节点的左孩子，那么在这里就是父亲节点的左孩子指向被删除节点的非空节点。

代码如下：

2.3.1.1. 错误的代码
// 第一种情况: 所删除的节点的左孩子为空
if (del->_left == nullptr)
{if (del_parent->_left == del){del_parent->_left = del->_right;}else{del_parent->_right = del->_right;}delete del;del = nullptr;
}

可能我们认为这段代码没问题，但是如果是下面这种情况呢？  

如果我此时要删除8，而8是这棵树的根节点，它是没有父节点的，那么此时上面的代码就会崩溃；

为了解决这个隐患，我们的方案就是，如果被删除节点是根，且它的左子树为空树，那么我们更新根节点即可，在这里就是让15做根节点。

2.3.1.2. 正确的代码
//第一种情况:所删除的节点的左孩子为空
if (del->_left == nullptr)
{// 如果被删除节点是根,那么更新根即可if (del == _root){Node* newroot = del->_right;delete _root;_root = newroot;}// 被删除节点是非根节点else{if (del_parent->_left == del){del_parent->_left = del->_right;}else{del_parent->_right = del->_right;}delete del;}
}

2.3.2. 第二种情况：所删除的节点的右孩子为空

如图所示：假如现在我们要删除的节点是6节点，可以发现它的右孩子为空，那么如何删除呢？

方案依旧是托孤法删除，在这里就是将6(被删除节点)的5(非空孩子节点)交给4(父亲节点) ，如下：

 处理细节，和第一种情况大同小异。

需要注意的就是：最后父亲节点连接非空孩子节点的时候，要根据被删除节点是父亲节点的左孩子还是右孩子来判断。

第二种情况和第一种情况大同小异，也需要对根节点进行特殊处理：

代码如下：

2.3.2.1. 正确的代码
//第二种情况:所删除的节点的右孩子为空
else if (del->_right == nullptr)
{// 当被删除节点为根节点if (del == _root){Node* newroot = del->_left;delete del;_root = newroot;}//当被删除节点为非根节点else{if (del_parent->_left == del){del_parent->_left = del->_left;}else{del_parent->_right = del->_left;}delete del;del = nullptr;}
}

2.3.3. 第三种情况：所删除的节点有两个非空节点 && 找右子树的最左节点

较为复杂的就是第三种情况了，由于被删除的节点有两个孩子，因此无法托孤，因为父亲节点至多只能管理两个孩子，所以我们又提出了新的解决方案：替代法删除

如图所示：

假如现在我们要删除4所在的节点，可以发现，4所在的节点有两个孩子，因此无法托孤，那么我们需要采用替代法删除，替代法删除就是在左子树或者右子树找一个"合适节点"，将4所在的节点的key进行覆盖，将删除4所在的节点转化为删除我们找的这个"合适节点"。

而这个"合适节点"通常只有两个：

  • 其一：以被删除的节点所在的二叉树开始，左子树的最大节点，即左子树的最右(大)节点；
  • 其二：以被删除的节点所在的二叉树开始，右子树的最小节点，即右子树的最左(小)节点。

而我们在这里就找右子树的最左(小)节点，注意，要从被删除的节点开始，在这里就是5；

当找到这个 "合适节点" 后，交换它与要删除节点的 Key；

此时就将删除目标节点转换为删除这个 "合适节点" 了；

因为此时这个 "合适节点" 只会有两种情况：

  • 第一种：它没有孩子，即左右子树为空；
  • 第二种：它只有一个孩子，且只可能是右孩子，因为这个 "合适节点" 是右子树的最左节点；

如果是第一种，即没有孩子，我们也可以将其归类为第二种情况，即右孩子不为空 && 左孩子为空，因此，可以用统一的方式处理，即托孤法删除 (所删除的节点的左孩子为空)。

故我们的大致步骤如下：

  1. 找合适节点；
  2. 交换合适节点和删除节点的 Key；
  3. 托孤发删除合适节点。

如图所示：

2.3.3.1. 有错误的代码
// 第三种情况：所删除的节点有两个非空节点
else
{// 从被删除结点开始, 找右子树的最小(左)节点Node* right_min = del->_right;// 并记录这个节点的父亲节点// 有可能这里我们会习惯的从nullptr开始，但是对于某些特殊情况会崩溃Node* right_min_parent = nullptr;while (right_min->_left){right_min_parent = right_min;right_min = right_min->_left;}// 交换这个节点和要删除节点的 keystd::swap(del->_key, right_min->_key);// 将删除 del 转化为删除 right_min (托孤法删除)if (right_min_parent->_left == right_min)right_min_parent->_left = right_min->_right;elseright_min_parent->_right = right_min->_right;delete right_min;right_min = nullptr;
}

如果我们将"合适节点"的父节点初始值设为nullptr，那么在下面的场景会发生崩溃：

由于此时，这个 "合适节点" 正好是 del->_right，不会进入循环，那么 right_min_parent 就是空，那么后面的操作就会对空指针进行解引用，非法操作，进程崩溃。

因此这里的 right_min_parent 的初始值可以从 del 开始，不可以将初始值设为空。

同时，我们发现，最后进行托孤法删除时，我们也进行了判断，这样的原因是因为这个"合适节点"既可能是父节点的左孩子，也可能是父节点的右孩子，因此必须判断。

2.3.3.2. 正确的代码
// 第三种情况：所删除的节点有两个非空节点
else
{// 从被删除结点开始, 找右子树的最小(左)节点Node* right_min = del->_right;// 并记录这个节点的父亲节点, 让其从del开始Node* right_min_parent = del;while (right_min->_left){right_min_parent = right_min;right_min = right_min->_left;}// 交换这个节点和要删除节点的 keystd::swap(del->_key, right_min->_key);// 将删除 del 转化为删除 right_min (托孤法删除)if (right_min_parent->_left == right_min)right_min_parent->_left = right_min->_right;elseright_min_parent->_right = right_min->_right;delete right_min;right_min = nullptr;
}

以此类推，我们也可以找左子树的最大(右)节点，代码如下： 

else
{// 从被删除节点开始, 找左子树的最大(右)节点Node* left_max = del->_left;// 并记录这个节点的父亲节点, 让其从del开始Node* left_max_parent = del;while (left_max->_right){left_max_parent = left_max;left_max = left_max->_right;}// 交换这个节点和要删除节点的 keystd::swap(del->_key, left_max->_key);// 将删除 del 转化为删除 left_max (托孤法删除)if (left_max_parent->_left == left_max)left_max_parent->_left = left_max->_left;elseleft_max_parent->_right = left_max->_left;delete left_max;left_max = nullptr;
}

最后，我们将第三种情况汇总，第一种是找右子树的最左节点，第二种是找左子树的最右节点，如下：

else 
{// 从被删除节点开始, 找右子树的最小(左)节点 || 找左子树的最大(右)节点if (del->_right)_erase_right_min_node(del);else_erase_left_max_node(del);
}void _erase_right_min_node(Node* del) 
{// 从被删除结点开始, 找右子树的最小(左)节点Node* right_min = del->_right;// 并记录这个节点的父亲节点, 让其从del开始Node* right_min_parent = del;while (right_min->_left){right_min_parent = right_min;right_min = right_min->_left;}// 交换这个节点和要删除节点的 keystd::swap(del->_key, right_min->_key);// 将删除 del 转化为删除 right_min (托孤法删除)if (right_min_parent->_left == right_min)right_min_parent->_left = right_min->_right;elseright_min_parent->_right = right_min->_right;delete right_min;right_min = nullptr;
}void _erase_left_max_node(Node* del)
{// 从被删除节点开始, 找左子树的最大(右)节点Node* left_max = del->_left;// 并记录这个节点的父亲节点, 让其从del开始Node* left_max_parent = del;while (left_max->_right){left_max_parent = left_max;left_max = left_max->_right;}// 交换这个节点和要删除节点的 keystd::swap(del->_key, left_max->_key);// 将删除 del 转化为删除 left_max (托孤法删除)if (left_max_parent->_left == left_max)left_max_parent->_left = left_max->_left;elseleft_max_parent->_right = left_max->_left;delete left_max;left_max = nullptr;
}

2.3.4. erase的完整实现如下

bool erase(const T& key)
{// 先找要删除的节点Node* del = _root;Node* del_parent = nullptr;while (del){if (del->_key < key){del_parent = del;del = del->_right;}else if (del->_key > key){del_parent = del;del = del->_left;}else{// 锁定了要删除的节点// 分三种情况:// case 1: 左子树为空if (del->_left == nullptr){// 如果要删除的节点是根if (del == _root){Node* newroot = del->_right;delete _root;_root = newroot;}else{// 托孤法删除if (del_parent->_left == del)del_parent->_left = del->_right;elsedel_parent->_right = del->_right;delete del;del = nullptr;}}// case 2: 右子树为空else if (del->_right == nullptr){if (_root == del){Node* newroot = del->_left;delete _root;_root = newroot;}else{if (del_parent->_left == del)del_parent->_left = del->_left;elsedel_parent->_right = del->_left;delete del;del = nullptr;}}// case 3: 左右子树都不为空else {// 从被删除节点开始, 找右子树的最小(左)节点 || 找左子树的最大(右)节点if (del->_right)_erase_right_min_node(del);else_erase_left_max_node(del);}return true;}}return false;
}void _erase_right_min_node(Node* del) 
{// 从被删除结点开始, 找右子树的最小(左)节点Node* right_min = del->_right;// 并记录这个节点的父亲节点, 让其从del开始Node* right_min_parent = del;while (right_min->_left){right_min_parent = right_min;right_min = right_min->_left;}// 交换这个节点和要删除节点的 keystd::swap(del->_key, right_min->_key);// 将删除 del 转化为删除 right_min (托孤法删除)if (right_min_parent->_left == right_min)right_min_parent->_left = right_min->_right;elseright_min_parent->_right = right_min->_right;delete right_min;right_min = nullptr;
}
void _erase_left_max_node(Node* del)
{// 从被删除节点开始, 找左子树的最大(右)节点Node* left_max = del->_left;// 并记录这个节点的父亲节点, 让其从del开始Node* left_max_parent = del;while (left_max->_right){left_max_parent = left_max;left_max = left_max->_right;}// 交换这个节点和要删除节点的 keystd::swap(del->_key, left_max->_key);// 将删除 del 转化为删除 left_max (托孤法删除)if (left_max_parent->_left == left_max)left_max_parent->_left = left_max->_left;elseleft_max_parent->_right = left_max->_left;delete left_max;left_max = nullptr;
}

二叉树进阶 --- 上，至此结束。

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