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⌚️ 01.最大化权值

问题描述

LYA 定义一个数组的权值为正数元素的数量减去负数元素的数量。例如，$[1,2,-3,-4,5]$ 的权值为 $1$，而 $[-2,-5]$ 的权值为 $-2$。

现在 LYA 拿到了一个数组，她准备选择恰好 $k$ 个元素进行取反（同一个元素最多只能取反一次），目标是使得数组的权值尽可能大。你能帮她计算出操作后数组权值的最大值吗？

输入格式

第一行包含两个正整数 $n$ 和 $k$，分别表示数组的长度和选择的元素数量。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，表示给定的数组。

输出格式

输出一个整数，表示操作后数组权值的最大值。

样例输入

5 3
-5 1 4 -2 3

样例输出

3

数据范围

• $1\le k\le n\le 10^5$
• $-10^9\le a_i\le 10^9$

可以统计数组中负数、正数和零的个数，分别记为 $l$、$r$ 和 $c$。

如果 $l\ge k$，即负数的个数大于等于可以取反的元素数量，那么我们只需要将 $k$ 个负数取反，最终的权值即为 $(r+k)-(l-k)$。

如果 $l<k$，那么我们需要先将所有负数取反，此时还剩下 $k-l$ 次取反操作。如果 $k-l\le c$，即剩下的取反次数小于等于零的个数，那么我们无需进行更多操作，最终的权值为 $r+l$。否则，我们需要将 $k-l-c$ 个正数取反。

参考代码

• Python

n, k = map(int, input().split())l, r, c = 0, 0, 0
for x in (list(map(int, input().split()))):if x < 0:l += 1elif x > 0:r += 1else:c += 1t = l
l -= k
if l >= 0:r += kprint(r - l)
else:l = 0k -= tk -= cr += tif k <= 0:print(r)else:r -= kl += kprint(r - l)

• Java

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int k = scanner.nextInt();int l = 0, r = 0, c = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {int x = scanner.nextInt();if (x < 0)l++;else if (x > 0)r++;elsec++;}int t = l;l -= k;if (l >= 0) {r += k;System.out.println(r - l);} else {l = 0;k -= t;k -= c;r += t;if (k <= 0)System.out.println(r);else {r -= k;l += k;System.out.println(r - l);}}}
}

• Cpp

#include <iostream>
using namespace std;int main() {int n, k;cin >> n >> k;int l = 0, r = 0, c = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {int x;cin >> x;if (x < 0)l++;else if (x > 0)r++;elsec++;}int t = l;l -= k;if (l >= 0) {r += k;cout << r - l << endl;} else {l = 0;k -= t;k -= c;r += t;if (k <= 0)cout << r << endl;else {r -= k;l += k;cout << r - l << endl;}}return 0;
}

📱 02.等腰梯形判定

问题描述

LYA 在平面上找到了四个点的坐标，想要判断这四个点能否构成一个等腰梯形。等腰梯形的定义为：四条边分为两对，有一对边平行且不相等，另一对边相等且不平行。

给定四个点的坐标，请帮助 LYA 判断它们是否能构成一个等腰梯形。

输入格式

第一行包含一个正整数 $q$，表示询问的次数。

接下来的 $q$ 行，每行包含 $8$ 个整数 $x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3,x_4,y_4$，分别表示四个点的坐标。

输出格式

对于每个询问，如果给定的四个点能构成等腰梯形，则输出 "Yes"，否则输出 "No"。

样例输入

3
0 0 2 4 5 0 3 4
0 0 1 4 2 0 3 4
0 1 2 1 3 2 3 4

样例输出

Yes
No
Yes

数据范围

• $1\le q\le 1000$
• $-1000\le x_i,y_i\le 1000$

题解

判断四个点是否能构成等腰梯形，可以按照以下步骤进行：

1. 计算四条边的长度，分别记为 $d_{12},d_{23},d_{34},d_{41}$，以及两条对角线的长度 $d_{13},d_{24}$。
2. 判断是否存在一对平行且不相等的边，以及另一对相等且不平行的边：
   • 如果 $d_{12}\parallel d_{34}$ 且 $d_{12}\ne d_{34}$，则判断 $d_{13}=d_{24}$ 或者 $d_{41}=d_{23}$ 是否成立。
   • 如果 $d_{13}\parallel d_{24}$ 且 $d_{13}\ne d_{24}$，则判断 $d_{12}=d_{34}$ 或者 $d_{41}=d_{23}$ 是否成立。
   • 如果 $d_{41}\parallel d_{23}$ 且 $d_{41}\ne d_{23}$，则判断 $d_{12}=d_{34}$ 或者 $d_{13}=d_{24}$ 是否成立。
3. 如果满足上述条件之一，则给定的四个点能构成等腰梯形，否则不能。

其中，判断两条线段是否平行可以通过比较它们的斜率是否相等来实现。

参考代码

• Cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;struct Point {int x, y;
};double dist(Point a, Point b) {return sqrt(pow(a.x - b.x, 2) + pow(a.y - b.y, 2));
}bool isParallel(Point a, Point b, Point c, Point d) {return (b.y - a.y) * (d.x - c.x) == (d.y - c.y) * (b.x - a.x);
}bool isIsosceles(Point a, Point b, Point c, Point d) {double d12 = dist(a, b), d23 = dist(b, c), d34 = dist(c, d), d41 = dist(d, a);double d13 = dist(a, c), d24 = dist(b, d);if (isParallel(a, b, c, d) && d12 != d34) {return (d13 == d24) || (d41 == d23);}if (isParallel(a, c, b, d) && d13 != d24) {return (d12 == d34) || (d41 == d23);}if (isParallel(a, d, b, c) && d41 != d23) {return (d12 == d34) || (d13 == d24);}return false;
}int main() {int q;cin >> q;while (q--) {Point a, b, c, d;cin >> a.x >> a.y >> b.x >> b.y >> c.x >> c.y >> d.x >> d.y;cout << (isIsosceles(a, b, c, d) ? "Yes" : "No") << endl;}return 0;
}

• Python

import mathclass Point:def __init__(self, x, y):self.x = xself.y = ydef dist(a, b):return math.sqrt((a.x - b.x) ** 2 + (a.y - b.y) ** 2)def is_parallel(a, b, c, d):return (b.y - a.y) * (d.x - c.x) == (d.y - c.y) * (b.x - a.x)def is_isosceles(a, b, c, d):d12 = dist(a, b)d23 = dist(b, c)d34 = dist(c, d)d41 = dist(d, a)d13 = dist(a, c)d24 = dist(b, d)if is_parallel(a, b, c, d) and d12 != d34:return d13 == d24 or d41 == d23if is_parallel(a, c, b, d) and d13 != d24:return d12 == d34 or d41 == d23if is_parallel(a, d, b, c) and d41 != d23:return d12 == d34 or d13 == d24return Falseq = int(input())
for _ in range(q):x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4 = map(int, input().split())a = Point(x1, y1)b = Point(x2, y2)c = Point(x3, y3)d = Point(x4, y4)print("Yes" if is_isosceles(a, b, c, d) else "No")

• Java

import java.util.Scanner;class Point {int x, y;Point(int x, int y) {this.x = x;this.y = y;}
}public class Main {static double dist(Point a, Point b) {return Math.sqrt(Math.pow(a.x - b.x, 2) + Math.pow(a.y - b.y, 2));}static boolean isParallel(Point a, Point b, Point c, Point d) {return (b.y - a.y) * (d.x - c.x) == (d.y - c.y) * (b.x - a.x);}static boolean isIsosceles(Point a, Point b, Point c, Point d) {double d12 = dist(a, b), d23 = dist(b, c), d34 = dist(c, d), d41 = dist(d, a);double d13 = dist(a, c), d24 = dist(b, d);if (isParallel(a, b, c, d) && d12 != d34) {return (d13 == d24) || (d41 == d23);}if (isParallel(a, c, b, d) && d13 != d24) {return (d12 == d34) || (d41 == d23);}if (isParallel(a, d, b, c) && d41 != d23) {return (d12 == d34) || (d13 == d24);}return false;}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int q = sc.nextInt();while (q-- > 0) {Point a = new Point(sc.nextInt(), sc.nextInt());Point b = new Point(sc.nextInt(), sc.nextInt());Point c = new Point(sc.nextInt(), sc.nextInt());Point d = new Point(sc.nextInt(), sc.nextInt());System.out.println(isIsosceles(a, b, c, d) ? "Yes" : "No");}}
}

💻 03.音乐会的座位安排

题目描述

K小姐是一名音乐会的组织者，她需要为一场音乐会安排座位。音乐会座位比较特殊只有一排，总共有 $n$ 个座位和 $m$ 个类型的观众。K小姐希望相邻的座位尽可能安排给相同类型的观众，以增加观众的互动和体验，。

我们定义一个观众类型的连续段为若干个连续的相同类型的观众。例如，在一排座位 $[1,1,2,3,3,3,3]$ 中，有 $3$ 个连续段，分别为两个 $1$，一个 $2$ 和四个 $3$。

现在K小姐想知道，对于给定的 $n$ 和 $m$ ，所有可能的座位安排方案中，连续段数量之和是多少？由于答案可能很大，请对 $10^9+7$ 取模。

输入格式

输入仅一行，包含两个正整数 $n$ 和 $m$，表示排数和观众类型数，中间用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，表示所有可能的座位安排方案中，连续段数量之和对 $10^9+7$ 取模的结果。

样例输入

2 3

样例输出

15

数据范围

$1\le n,m<10^9$

题解

这题建议直接打表找规律，表达式为: $n\times m^n-(n-1)\times m^{n-1}$

最后用快速幂求次方即可。

参考代码

• Python

n, m = map(int, input().split())
mod = 10 ** 9 + 7
res = n * pow(m, n, mod) - (n - 1) * pow(m, n - 1, mod) 
res %= mod
print(res)

• Java

import java.util.Scanner;public class Main {static final int MOD = 1000000007;static long qmi(long a, long b) {long res = 1 % MOD;while (b > 0) {if ((b & 1) == 1) {res = res * a % MOD;}a = a * a % MOD;b >>= 1;}return res;}public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);long n = scanner.nextLong();long m = scanner.nextLong();long res = n * qmi(m, n) % MOD - (n - 1) * qmi(m, n - 1) % MOD;res = (res % MOD + MOD) % MOD;System.out.println(res);}
}

• Cpp

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;
LL qmi(LL a, LL b){LL res = 1 % mod;while(b){if(b & 1)res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}int main (){LL n, m; cin >> n >> m;LL res = n * qmi(m, n) % mod - (n - 1) * qmi(m, n - 1) % mod;  res = (res % mod + mod) % mod;cout << res << "\n";return 0;
}

写在最后

📧 清隆这边最近正在收集近一年互联网各厂的笔试题汇总，如果有需要的小伙伴可以关注后私信一下 清隆领取，会在飞书进行同步的跟新。