数据结构--红黑树（RBTree）-编程知识

一、红黑树概念

1.1 什么是红黑树

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，也就是最长路径不超过最短路径的2倍，因而是接近平衡的。

2.1 红黑树的性质

每个结点不是红色就是黑色
根节点是黑色的
如果一个结点是红色的，则他的两个孩子是黑色的，及不存在两个连续的红色结点
对于每个叶子结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径，均包含相同数目的黑色节点
每个叶子结点都是黑色的（此处的叶子节点指的是空节点）

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

【解释】：由于红黑树要保证每条路径的黑色结点个数相同，且不能存在连续的两个红色结点，所以最短路径就是全黑，最长路径是一黑一红交替，这样红黑树的最长路径的极限也只能为最短路径的两倍

二、红黑树的实现

2.1 红黑树结点的定义

enum Color
{RED,BLACK
};
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode(const pair<K,V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_col(RED){}struct RBTreeNode* _left;struct RBTreeNode* _right;struct RBTreeNode* _parent;pair<K, V> _kv;Color _col;
};

思考：在结点的定义中，为什么要将结点的默认颜色给成红色的？

【解释】：若将结点的颜色默认为黑色，由于要求每条路径的黑色结点个数相同，如果新插入一个结点，就会破坏这个性质，影响比较大，如果将结点的颜色默认为红色，那么最多也就会出现两个连续的红色结点，只会影响一条路径，只需要进行调整即可，影响比较小

2.2 红黑树的插入

1. 按照二叉搜索树的规则将结点插入到红黑树中

2. 检测插入结点后，红黑树的性质是否遭到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点（因为cur与p一定为红色，g一定为黑色，我们只需要对u进行讨论）

情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红（假设uncle在g的右边）

注意：此时看到的树可能是一颗完整的树，也可能是一颗子树

解决方法：

由于出现了连续的两个红色结点，我们只能将p变为黑色，因为如果cur为新增结点，将其变为黑色会破坏性质4，而将p变为黑色，会导致g的左右子树黑色节点不同，所以需要将u也变为黑色，而g有可能只是一颗子树，为了保证与其他路径的黑色节点个数相同，还需要将g变为红色，如果g为根节点的话，再将其变为黑色即可。

情况二：cur为红色，p为红色，g为黑色，u不存在或者u存在且为黑色（假设u在g的右边）

说明：u的情况存在两种

1.uncle不存在，那么cur一定是新增的那个结点，因为如果不是新增结点，那么cur和p至少有一个应该为黑色，不然就违反性质3了

2.uncle存在且为黑色，那么cur原来的颜色一定为黑色，现在看到cur的颜色为红色是因为cur子树在调整过程中将cur变为了红色

【解决办法】：

如果cur为p的左孩子

将p变黑，g变红，以g作为父亲结点右单旋

如果cur为p的右孩子

将cur变黑，g变红，先以p为父亲节点左单旋，在以g为父亲节右单旋

ps：uncle为g左边原理同上，对于旋转不清楚的可以参考

2.3 代码实现

bool Insert(const pair<K,V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if(cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first>kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续向上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else //uncle不存在或者uncle存在且为黑{if (cur == parent->_left){//      g//    p   u//  cRotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//      g//    p   u//      cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else{Node* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续向上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else //uncle不存在或者uncle存在且为黑{if (cur == parent->_right){//      g//    u   p//          cRotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//      g//    u   p//      cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;
}

三、红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)

2. 检测其是否满足红黑树的性质

bool IsBalance()
{if (_root->_col == RED)return false;Node* cur = _root;int RefNum = 0; //作为路径黑色结点个数的参考while (cur){if (cur->_col == BLACK)RefNum++;cur = cur->_left;}return _IsBalance(_root,RefNum,0);
}bool _IsBalance(Node* root,int RefNum,int num)
{if (root == nullptr){//验证每条路径的黑色节点个数是否相同if (num != RefNum){cout << "黑色节点数不同" << endl;return false;}return true;}//验证是否存在两个连续的红色节点if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << "连续两个红色" << root->_kv.first << endl;return false;}if (root->_col == BLACK)num++;return _IsBalance(root->_left, RefNum, num) && _IsBalance(root->_right, RefNum, num);
}