DP（一）

前言

因为各种原因，这个博客是赶出来的，所以大概率会有没讲清楚或者讲错了的情况，请大家及时指出。

因为个人不是非常擅长于 DP，可能很难判别一道题的好坏，所以可能存在几道史题在题单中，请大家谅解。

这篇博客理论上仅限于讲解例题，大部分习题的题解请移步至配套博客查看。关于习题：就是我认为大家做完上一道题之后能自己做出来的题。

那么就让我们开始吧。

DP 是什么

DP（Dynamic Programming），动态规划，通常用于处理最优性问题，也可以用来计数等。其核心思想就是设置状态，使得这些状态能够进行转移，最后得出结果。

另一种理解方式就是，DP 能够通过设置状态转移的方式来缩小问题规模，就比如我们推出了一个从前 \(i\) 个物品转移到前 \(i+1\) 个物品的转移式，我们就成功把问题规模从 \(n\) 变成了 \(1\)，因为这里存在一个从 \(1\) 到 \(n\) 的递推关系。

DP 优于暴力就是因为，暴力的时候，我们其实会重复处理很多信息，而 DP 通过设置状态并储存状态信息来进行一个类似于记忆化的过程，从而省去了很多很多重复的计算。

举一个非常简单的例子：

最长公共子序列问题：

给定两个串 \(S,T\)，可以删除 \(S\) 中的一些元素，将 \(S\) 中剩下元素按原顺序拼在一起组成串 \(A\)；对 \(T\) 进行一样的操作得到 \(B\)，求最长的 \(A\) 的长度 \(l\) 使得 \(\exist A,B,|A|=|B|=l, A=B\)。

我们可以设置状态 \(f_{i,j}\) 代表这个最长的子序列放到 \(S\) 的原位置中最后位置的下标 \(\leq i\)，放到 \(T\) 的原位置中最后位置的下标 \(\leq j\) 时的最长子序列长度。我们发现有转移：

\[f_{i+1,j+1}=\max(f_{i,j}+[S_{i+1}=T_{j+1}],f_{i+1,j},f_{i,j+1}) \]

这样我们可以在 \(O(|S||T|)\) 的时间复杂度内解决这个问题。这比暴力的 \(O(2^{|S|}+2^{|T|})\) 好多了。

DP 的前置条件

能用 DP 解决的问题通常需要满足三个条件，即最优子结构，无后效性，子问题重叠。

• 最优子结构

这个指子问题的最优解能够转移到原问题的最优解。满足这个条件的问题有些时候也可以用贪心做。

• 无后效性

前面子问题的解不会受后面决策的影响。

• 子问题重叠

如果没有重叠的子问题，那么 DP 其实和暴力是等复杂度的。

对于大多数题，如果计算的贡献完整且没有重复，然后无后效性，这个 DP 大概率就是正确的。

朴素 DP

就是什么特殊类 DP 都不是的纯暴力 DP，放到开头给大家练练手。

例题：CF1096D Easy Problem

*1800，想必大家都能独立切掉。

给你一个长为 \(n\) 的字符串 \(s\) 以及 \(a_{1..n}\)，删去第 \(i\) 个字符的代价为 \(a_i\)，你需要删去一些字符（如果一开始就符合条件当然可以不删）使得剩下的串中不含子序列 "hard"，求最小代价。

子序列不需要连续。

\(n\leq 10^5,a_i\in[1,998244353]\)。

题解

我们设状态 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个字符中，hard 仅前 \(j\) 个字符已经匹配完成的最小代价。

转移是简单的。如果当前位是 h，那么有：

\[f_{i,1}=\min(f_{i-1,1},f_{i-1,0})\\ f_{i,0}=f_{i-1,0}+a_i \]

第一个式子代表不删这个 h 时的转移，第二个式子则代表删掉这个 h 之后的转移。

当前位为其他值类似，最后的答案就是 \(\min_if_{n,i}\)。时间复杂度为 \(O(n)\)。空间可以滚动。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
char s[100005];
long long f[100005][4];
int a[100005];
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);memset(f,0x3f,sizeof f);f[0][0]=0;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>s[i];for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<=3;j++)f[i][j]=f[i-1][j];if(s[i]=='h')f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][0]),f[i][0]=f[i-1][0]+a[i];else if(s[i]=='a')f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][1]),f[i][1]=f[i-1][1]+a[i];else if(s[i]=='r')f[i][3]=min(f[i][3],f[i-1][2]),f[i][2]=f[i-1][2]+a[i];else if(s[i]=='d')f[i][3]=f[i-1][3]+a[i];}cout<<min({f[n][0],f[n][1],f[n][2],f[n][3]});return 0;
}

习题：[ABC301F] Anti-DDoS。

例题：P1410 子序列

要想学好 DP，首先要练习如何吃史。

给定一个长度为 \(N\)（\(N\) 为偶数）的序列，问能否将其划分为两个长度为 \(N / 2\) 的严格递增子序列。

\(N\leq 2000\)。

题解

这题的状态设计非常神秘。

设 \(f_{i,j}\) 为前 \(i\) 个元素可以拆成两个递增子序列，第一个的长度为 \(j\)，并且最后一位对应的下标是 \(i\)，第二个的最大值的最小值。

因为存的是最小值，我们就能较为方便的转移。

假设下一个元素 \(i+1\) 的值 \(a_{i+1}>f_{i,j}\)，那么这里可以直接扩展第二个子序列，有 \(f_{i+1,i-j+1}\gets a_i\)。

如果 \(a_{i+1}>a_i\)，这里也可以直接扩展第一个子序列，有 \(f_{i+1,j+1}\gets f_{i,j}\)。

其他情况均不能扩展任何子序列。

最后判定 \(f_{n,\frac{n}{2}}\) 是不是 \(+\infty\) 就行了。

最初做这道题的时候，作者认为这道题非常史。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[2005][2005];
int a[2005];
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);int n;while(cin>>n){for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];memset(f,0x3f,sizeof f);f[1][1]=0;for(int i=1;i<n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){if(a[i+1]>f[i][j])f[i+1][i-j+1]=min(f[i+1][i-j+1],a[i]);if(a[i+1]>a[i])f[i+1][j+1]=min(f[i+1][j+1],f[i][j]);}}if(f[n][n/2]<=1000000000)cout<<"Yes!\n";else cout<<"No!\n";}return 0;
}

顺带一提，这题有双倍经验 P4728。

习题：P2224 [HNOI2001] 产品加工

选做题：P4740 [CERC2017] Embedding Enumeration

作者认为，分讨是 DP 的一大重点。

输入一棵有标号树，求把这棵树放入 \(2*n\) 的网格图中的方案数，对 \(10^9+7\) 取模。

两种方案相同当且仅当网格图内标号分布完全相同。

要求：\(1\) 必须放在 \((1,1)\)，有边连接的节点必须相邻，两个节点不能放在同一个格子。

\(n\leq 3\times 10^5\)。

Hint

大家可以尝试直接对某个节点在左上角时的方案数进行分类讨论。

题解

作者的分类讨论和代码都非常复杂，仅供参考！！！

另外，因为这个题调不出来会很难受，所以作者提供数据，内网，外网。

设 \(f_i\) 为树上的点 \(i\) 在左上角时放 \(i\) 的子树的方案数。

有 \(4\) 种大情况：

第一种：

注意到这里的左上角黑点不一定就是 \(i\)，也有可能是 \(i\) 的子孙。注意这个子孙到 \(i\) 中间经过的所有点度数为 \(2\)，否则会和下面的情况重复一些。

这个时候的贡献就是红色的点的 DP 值，我们需要记录树上的这种链（链顶到链底的父亲都只有一个儿子）的 DP 值和。

第二种：

需要判断左下链的合法性，贡献为右下的点的 DP 值。

第三种：

下面的子树可以往左摆或者往右摆。

向左摆是简单的，但是向右摆的话就要满足这两棵子树中至少有一个是链，贡献就是某个子树第一次超过另外一个链的点的 DP 值，没有超过也有 \(1\) 的贡献。

这里可能需要记录 DFS 序来实现 \(O(1)\) 转移。

注意如果下面的子树大小就只有 \(1\)，注意向左摆和向右摆只能算一个，不然会算重。

第四种：

这里有三个子树，我们把左下子树称为 \(a\) 子树，右下子树称为 \(b\) 子树，右上子树称为 \(c\) 子树。

显然 \(a\) 子树一定是链，我们只用保证 \(b,c\) 子树其中有至少一个是链就行了，贡献和第三种是一致的。

注意如果 \(i\) 的子树就是链，还要特判一条直链，一条直链最后拐下来一格，还有拐下来后只往左摆。

可能还要特判 \(i\) 有两个儿子的情况。

作者的实现非常史，代码中分了 \(7\) 种情况，其中 Situation 1 对应这里的第一种情况；Situation 2 对应这里的第二种情况；Situation 3-5 对应这里的第三种情况；Situation 6 对应这里的第四种情况；Situation 7 说的是一条链拐下来之后向左摆（摆的长度 \(>1\)）的情况。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
#define int long long
vector<int> son[300005];
int f[300005],fa[300005],sum[300005],len[300005],edid[300005];
int tst[300005],dfn[300005],rk[300005],dfncnt;
vector<int> to[300005];
void init(int now,int f){fa[now]=f;dfn[now]=++dfncnt;rk[dfncnt]=now;for(auto v:to[now]){if(v^f){son[now].push_back(v);init(v,now);}}if(son[now].size()==1){len[now]=len[son[now][0]]+1;edid[now]=edid[son[now][0]];if(!edid[now])edid[now]=son[now][0];tst[now]=tst[son[now][0]];}else if(son[now].size()==2)tst[now]=1,edid[now]=now;else if(son[now].size()>2){cout<<0;exit(0);}return;
}
int n,x,y;
void dfs(int now){for(auto v:son[now])dfs(v);int &p=f[now];//Situation 1if(len[now]>=2)p=(p+sum[son[son[now][0]][0]]);//Situation 7if(!tst[now]&&len[now]>=3)p=(p+len[now]-2-(len[now]/2)+1)%mod;//SP-Straight segmentif(!tst[now])p=(p+1)%mod;//SP-len>=1// ------//      |if(!tst[now]&&len[now]>=1)p=(p+1)%mod;//Situation 2-6if(tst[now]){//get next deg-3 pointint nxt3=edid[now];//SP-now is deg-3 pointif(nxt3==now){//sub1:2 segmentsif(!tst[son[now][0]]&&!tst[son[now][1]]){int mx=len[son[now][0]]>len[son[now][1]]?son[now][0]:son[now][1];int mi=mx==son[now][0]?son[now][1]:son[now][0];p=(p+f[rk[dfn[mx]+len[mi]]])%mod;if(len[mx]>len[mi]+1)p=(p+f[rk[dfn[mx]+len[mi]+2]]%mod)%mod;else p=(p+1)%mod;}//sub2:1 tree,1 segmentelse if(tst[son[now][0]]+tst[son[now][1]]==1){int _1=tst[son[now][0]]==1?son[now][0]:son[now][1];int _0=tst[son[now][0]]==0?son[now][0]:son[now][1];if(len[_1]>=len[_0])p=(p+f[rk[dfn[_1]+len[_0]]])%mod;if(len[_1]>=len[_0]+2)p=(p+f[rk[dfn[_1]+len[_0]+2]])%mod;}}else{//Situation 2if(dfn[nxt3]-dfn[now]>=2){int nxtlen=dfn[nxt3]-dfn[now]-1;if(!tst[son[nxt3][0]]&&len[son[nxt3][0]]<nxtlen)p=(p+f[son[nxt3][1]])%mod;if(!tst[son[nxt3][1]]&&len[son[nxt3][1]]<nxtlen)p=(p+f[son[nxt3][0]])%mod;}//Situation 3if(!tst[son[nxt3][0]]&&!tst[son[nxt3][1]]){//Copy upper code-deal RR situationint mx=len[son[nxt3][0]]>len[son[nxt3][1]]?son[nxt3][0]:son[nxt3][1];int mi=mx==son[nxt3][0]?son[nxt3][1]:son[nxt3][0];p=(p+f[rk[dfn[mx]+len[mi]]])%mod;if(len[mx]>len[mi]+1)p=(p+f[rk[dfn[mx]+len[mi]+2]])%mod;else p=(p+1)%mod;//deal LR situationif(len[now]>=len[mi]&&len[mi]!=0)p=(p+f[mx])%mod;if(len[now]>=len[mx]&&len[mx]!=0)p=(p+f[mi])%mod;}//Situation 4-5if(tst[son[nxt3][0]]+tst[son[nxt3][1]]==1){int mx=tst[son[nxt3][0]]?son[nxt3][0]:son[nxt3][1];int mi=mx==son[nxt3][0]?son[nxt3][1]:son[nxt3][0];//Situation 4if(len[mi]<=len[now]&&len[mi]!=0)p=(p+f[mx])%mod;if(len[mx]>=len[mi])p=(p+f[rk[dfn[mx]+len[mi]]]%mod)%mod;//Situation 5if(len[mx]>=len[mi]+2)p=(p+f[rk[dfn[mx]+len[mi]+2]]%mod)%mod;}//Situation 6//  -------//     |//  -------//shape//this is a large situation!!!if(max(son[son[nxt3][0]].size(),son[son[nxt3][1]].size())==2&&son[son[nxt3][0]].size()+son[son[nxt3][1]].size()<=3){int mx=son[son[nxt3][0]].size()==2?son[nxt3][0]:son[nxt3][1];int mi=mx==son[nxt3][0]?son[nxt3][1]:son[nxt3][0];int _1=mi,_2=son[mx][0],_3=son[mx][1];//sub1: 3 segmentsif(tst[_1]+tst[_2]+tst[_3]==0){if(len[now]>len[_2]){int __1=len[_1]>len[_3]?_1:_3;int __2=len[_1]<len[_3]?_1:_3;if(len[__1]==len[__2])p=(p+1)%mod;else p=(p+f[rk[dfn[__1]+len[__2]+1]])%mod;}if(len[now]>len[_3]){int __1=len[_1]>len[_2]?_1:_2;int __2=len[_1]<len[_2]?_1:_2;if(len[__1]==len[__2])p=(p+1)%mod;else p=(p+f[rk[dfn[__1]+len[__2]+1]])%mod;}}//sub2: 2 segments 1 treeif(tst[_1]+tst[_2]+tst[_3]==1){if(tst[_1]==1){if(len[_2]<len[now]&&len[_3]<len[_1])p=(p+f[rk[dfn[_1]+len[_3]+1]])%mod;if(len[_3]<len[now]&&len[_2]<len[_1])p=(p+f[rk[dfn[_1]+len[_2]+1]])%mod;}else{if(tst[_2]!=1)swap(_2,_3);if(len[_3]<len[now]&&len[_1]<len[_2])p=(p+f[rk[dfn[_2]+len[_1]+1]])%mod;}}}}}sum[now]=f[now];if(son[now].size()==1)sum[now]=(sum[now]+sum[son[now][0]])%mod;return;
}
signed main(){f[0]=1;ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n;for(int i=1;i<n;i++)cin>>x>>y,to[x].push_back(y),to[y].push_back(x);init(1,0);dfs(1);cout<<f[1];return 0;
}

这里有一道据说类似的题，如果感兴趣可以做做。

CF613E Puzzle Lover

区间 DP

区间 DP，就是指状态中含有一个区间的 DP，使用时通常需要满足可以快速加入元素或可以快速合并，大多数题都是从小区间转移到大区间。

因为合并区间时会枚举决策点，这个时候可以使用一些有关决策的 DP 优化，但是这目前不在我们的讨论范围之内。

如果用区间 DP 计数的时候，注意去重。

由于作者认为这个 DP 比较重要，所以塞了比较多题。

接下来就是例题时间了。

P7914 [CSP-S 2021] 括号序列

link

具体而言，小 w 定义“超级括号序列”是由字符 (、)、* 组成的字符串，并且对于某个给定的常数 \(k\)，给出了“符合规范的超级括号序列”的定义如下：

1. ()、(S) 均是符合规范的超级括号序列，其中 S 表示任意一个仅由不超过 \(\bf{k}\) 个字符 * 组成的非空字符串（以下两条规则中的 S 均为此含义）；
2. 如果字符串 A 和 B 均为符合规范的超级括号序列，那么字符串 AB、ASB 均为符合规范的超级括号序列，其中 AB 表示把字符串 A 和字符串 B 拼接在一起形成的字符串；
3. 如果字符串 A 为符合规范的超级括号序列，那么字符串 (A)、(SA)、(AS) 均为符合规范的超级括号序列。
4. 所有符合规范的超级括号序列均可通过上述 3 条规则得到。

例如，若 \(k = 3\)，则字符串 ((**()*(*))*)(***) 是符合规范的超级括号序列，但字符串 *()、(*()*)、((**))*)、(****(*)) 均不是。特别地，空字符串也不被视为符合规范的超级括号序列。

现在给出一个长度为 \(n\) 的超级括号序列，其中有一些位置的字符已经确定，另外一些位置的字符尚未确定（用 ? 表示）。小 w 希望能计算出：有多少种将所有尚未确定的字符一一确定的方法，使得得到的字符串是一个符合规范的超级括号序列？

\(1\leq k\leq n\leq 500\)。

Hint

如果不好去重，就多定义几个状态出来辅助 DP 来去掉去重这一步。

题解

这里讲一种不需要去重的 DP 方式。

首先我们可以预处理出那些区间是可以变成 S 的。

设 \(f_{i,j}\) 为该区间字符串是超级括号序列的方案数，\(g_{i,j}\) 代表该区间字符串为 SA（A 是超级括号序列）的方案数，\(h_{i,j}\) 代表该区间字符串为 AS 的方案数，\(w_{i,j}\) 代表该区间字符串是 () 或 (S) 或 (AS) 或 (SA) 的方案数。

首先看 \(g\) 怎么转移。我们肯定是枚举 S 的长度，然后再后边尝试接上一个 A，不难发现其实是不会有算重的情况的，\(h\) 也是类似。

然后考虑怎么转移 \(w\)。首先可以特判 () 和 (S) 的情况，然后 (AS) 和 (SA) 其实都可以直接通过 \(g\) 和 \(h\) 转移过来。

最后就是最难的 \(f\) 了。最简单的转移是 \(f_{i,j}\gets w_{i,j}\)，然后我们考虑 ASB，发现其实可以直接 \(f_{i,j}\gets f_{i,k}\times g_{k+1,j}\)，这样是不会重复的，因为 S 的起点在每次转移的时候都不同。最后我们考虑 AB，我们发现如果直接 \(f_{i,j}\gets f_{i,k}\times f_{k+1,j}\) 是不可行的，因为显然此时假如说这个区间存在一种由 \(k\) 个 (...) 用 AB 方式组合起来的方案，那么这样计算这种方案就被计算了 \(k-1\) 次。考虑每种方案只有一个最左边的 (...)，所以 \(f_{i,j}\gets w_{i,k}\times f_{k+1,j}\) 就是正确的了（这里代码中写的是 \(f_{i,j}\gets f_{i,k}\times w_{k+1,j}\)）。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
#define int long long
int n,k;
int S[502][502];
char s[505];
int f[505][505],g[505][505],h[505][505],whol[505][505];
signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>s[i];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i;j<=min(n,i+k-1);j++){//[i,j]if(s[j]=='*'||s[j]=='?')S[i][j]=1;else break;}}for(int i=1;i<n;i++){if((s[i]=='?'||s[i]=='(')&&(s[i+1]=='?'||s[i+1]==')'))whol[i][i+1]=1;for(int j=i+2;j<=min(n,i+k+1);j++){if((s[i]=='?'||s[i]=='(')&&(s[j]=='?'||s[j]==')')&&S[i+1][j-1])whol[i][j]=1;}}for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n-i+1;j++){for(int p=j;p<j+i-1;p++){f[j][j+i-1]=(f[j][j+i-1]+whol[j][p]*(f[p+1][j+i-1]+g[p+1][j+i-1])%mod)%mod;g[j][j+i-1]=(g[j][j+i-1]+S[j][p]*f[p+1][j+i-1])%mod;h[j][j+i-1]=(h[j][j+i-1]+S[p+1][j+i-1]*f[j][p])%mod;}if((s[j]=='?'||s[j]=='(')&&(s[j+i-1]=='?'||s[j+i-1]==')'))whol[j][j+i-1]=(whol[j][j+i-1]+f[j+1][j+i-2]+g[j+1][j+i-2]+h[j+1][j+i-2])%mod;f[j][j+i-1]=(f[j][j+i-1]+whol[j][j+i-1])%mod;}}cout<<f[1][n];return 0;
}

UVA1630 串折叠 Folding

link

折叠由大写字母组成的长度为 \(n\)（\(1\leqslant n\leqslant100\)）的一个字符串，使得其成为一个尽量短的字符串，例如 AAAAAA 变成 6(A)。
这个折叠是可以嵌套的，例如 NEEEEERYESYESYESNEEEEERYESYESYES 会变成 2(N5(E)R3(YES))。
多解时可以输出任意解。

\(n\leq 100\)。

输出方案的题是逃避不了的/xk。

如果大家写挂了，可以先到这道题来检验 DP 的正确性。

题解

这题我直接写从最短的循环节转移就过了，然后我和 zfy 讨论能不能从最短的循环节转移过来，最后 zfy 说自己证出来可以，但是我不太知道原理。

这题其实比较简单。

设 \(f_{i,j}\) 为区间 \([i,j]\) 的答案，可以从枚举循环节转移，也可以两区间合并。

暴力枚举循环节复杂度是 \(O(n+\sum_{p|n}\frac{n}{p})\leq O(n\ln n)\)，所以总复杂度是 \(O(n^3\ln n)\)。

方案的话，记录这个是从循环节还是区间转移过来的，记录决策点，最后 DFS 还原即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[101][101],g[101][101];
char s[101],*ss=s+1;
const int SIG=1e5;
int _10[101];
string getans(int l,int r){// cerr<<l<<" "<<r<<"\n";if(!g[l][r]){string tmp;tmp.clear();for(int i=l;i<=r;i++)tmp+=s[i];return tmp;}if(g[l][r]>SIG){string tmp;tmp.clear();tmp+=to_string((r-l+1)/(g[l][r]-SIG-l+1));tmp+='(';tmp+=getans(l,g[l][r]-SIG);tmp+=')';return tmp;}return getans(l,g[l][r])+getans(g[l][r]+1,r);
}
#define ull unsigned long long
ull hsh[105],_b[105];
const ull base=179;
ull gethsh(int l,int r){return hsh[r]-hsh[l-1]*_b[r-l+1];
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);for(int i=1;i<=9;i++)_10[i]=1;for(int i=10;i<=100;i++)_10[i]=_10[i/10]+1;_b[0]=1;for(int i=1;i<=100;i++)_b[i]=_b[i-1]*base;while(cin>>ss){memset(g,0,sizeof g);int n=strlen(ss);for(int i=1;i<=n;i++)hsh[i]=hsh[i-1]*base+s[i]-'A'+1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i;j<=n;j++)dp[i][j]=j-i+1;for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n-i+1;j++){for(int k=j;k<j+i-1;k++){if(dp[j][j+i-1]>dp[j][k]+dp[k+1][j+i-1]){g[j][j+i-1]=k;dp[j][j+i-1]=dp[j][k]+dp[k+1][j+i-1];}if(i%(k-j+1))continue;//[j,k]bool flag=1;for(int o=j;o<=j+i-1&&flag;o+=k-j+1){flag&=gethsh(j,k)==gethsh(o,o+k-j);}if(flag){if(dp[j][j+i-1]>_10[i/(k-j+1)]+2+dp[j][k]){g[j][j+i-1]=SIG+k;dp[j][j+i-1]=_10[i/(k-j+1)]+2+dp[j][k];}}}}}// cout<<dp[1][n]<<"\n";cout<<getans(1,n)<<"\n";}return 0;
}

习题：P2470 [SCOI2007] 压缩

有兴趣的可以再来做一道字符串压缩的题，这道题感觉比较有意思：[AGC020E] Encoding Subsets。

P4766 [CERC2014] Outer space invaders

link

来自外太空的外星人（最终）入侵了地球。保卫自己，或者解体，被他们同化，或者成为食物。迄今为止，我们无法确定。

外星人遵循已知的攻击模式。有 \(N\) 个外星人进攻，第 \(i\) 个进攻的外星人会在时间 \(a_i\) 出现，距离你的距离为 \(d_i\)，它必须在时间 \(b_i\) 前被消灭，否则被消灭的会是你。

你的武器是一个区域冲击波器，可以设置任何给定的功率。如果被设置了功率 \(R\)，它会瞬间摧毁与你的距离在 \(R\) 以内的所有外星人（可以等于），同时它也会消耗 \(R\) 单位的燃料电池。

求摧毁所有外星人的最低成本（消耗多少燃料电池），同时保证自己的生命安全。

\(1\leq n\leq 300\)。

Hint

如果发现不好想转移的话，可以想想什么是这个区间一定会执行的操作。

题解

首先不难发现这个时间是可以离散化的，这样我们就可以设 \(f_{i,j}\) 是消灭生存区间的两个端点都在 \([i,j]\) 内的最低成本。

直接想转移可能比较困难。考虑什么东西是这个区间的答案一定含有的。

不难发现想要消灭这个区间内的所有外星人，最优情况下我们一定有一次选择了 \(R=\max_i d_i\) 的功率进行消灭。我们可以在 \(O(n)\) 的时间内找到这个外星人。

因为我们一定会在这个外星人的生存区间中的一个点发动 \(R=\max_id_i\) 的攻击，所以我们可以枚举在这个生存区间的哪个位置发动这个攻击。因为这是整个区间的最大功率，所以它一定也会消灭所有生存区间跨过这个位置的外星人，这个时候就只剩下左右两个区间内的外星人了。我们可以列出方程式（设 \(id\) 是距离最远的那个外星人的编号）：

\[f_{l,r}=d_{id}+\max_{k\in[l_{id},r_{id}]}(f_{l,k-1}+f_{k+1,r}) \]

时间复杂度 \(O(n^3)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,dis[505],l[505],r[505],maxid[605][605],dp[605][605];
int num[605],kcnt;
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>T;while(T--){cin>>n;kcnt=0;memset(maxid,0,sizeof maxid);for(int i=1;i<=n;i++){cin>>l[i]>>r[i]>>dis[i];num[++kcnt]=l[i];num[++kcnt]=r[i];}sort(num+1,num+kcnt+1);kcnt=unique(num+1,num+kcnt+1)-num-1;for(int i=1;i<=n;i++){l[i]=lower_bound(num+1,num+kcnt+1,l[i])-num;r[i]=lower_bound(num+1,num+kcnt+1,r[i])-num;}for(int i=1;i<=kcnt;i++){for(int j=i+1;j<=kcnt;j++){for(int p=1;p<=n;p++){if(l[p]>=i&&r[p]<=j)if(dis[p]>dis[maxid[i][j]])maxid[i][j]=p;}}}for(int i=1;i<=kcnt;i++)for(int j=i+1;j<=kcnt;j++)dp[i][j]=1e9;for(int i=2;i<=kcnt;i++){for(int j=1;j<=kcnt-i+1;j++){//[j,j+i-1]int id=maxid[j][j+i-1];if(!id){dp[j][j+i-1]=0;continue;}for(int k=l[id];k<=r[id];k++){dp[j][j+i-1]=min(dp[j][j+i-1],dp[j][k-1]+dp[k+1][j+i-1]+dis[id]);}}}cout<<dp[1][kcnt]<<"\n";}return 0;
}

选做习题：P3592 [POI2015] MYJ

P2339 [USACO04OPEN] Turning in Homework G

link

贝茜有 $ C $ ( $ 1 \leq C \leq 1000 $ ) 门科目的作业要上交，之后她要去坐巴士和奶牛同学回家。

每门科目的老师所在的教室排列在一条长为 $ H $ ( $ 1 \leq H \leq 1000 $ ) 的走廊上，他们只在课后接收作业，交作业不需要时间。贝茜现在在位置 0，她会告诉你每个教室所在的位置，以及走廊出口的位置。她每走 1 个单位的路程，就要用 1 秒。她希望你计算最快多久以后她能交完作业并到达出口。

Hint

这道题不难发现先交一个区间的作业不能作为状态，因为有可能在等区间内的老师下课的时候可以跑到区间外交作业。那有没有可能先不交一个区间的作业作为状态呢？

题解

设 \(f_{l,r,0/1}\) 为区间 \([l,r]\) 的作业还没交，当前在 \(l\) 位置还是 \(r\) 位置的最小时间。

非常反直觉的状态设计对吧？如何证明其包含最优解呢？考虑把最优解倒过来看，这样我们可以把下课变成上课，即需要在上课之前交作业。这个时候的 DP 就是枚举交了哪个区间的作业，现在在该区间的左端点还是右端点，求最小时间。把这个 DP 再倒过来就变成上面的状态了，两个都是最小时间没有问题，因为这两个最小时间加起来就等于最优解时间。

另一种理解方式就是，如果 \(l+1\) 位置的作业之前没交，你移动到 \(r\) 之后要走回来交；如果 \(l+1\) 位置的作业之前可以交，那么完全可以先移动到 \(l+1\) 之后再移动。所以转移是完整的。

剩下的转移也非常简单了，从大区间转移到小区间，枚举上次移动是从左边还是右边移动过来即可。注意没有下课的时候需要等待，在倒过来的 DP 中这一步就代表这个地方已经上课了，需要增加最优解时间来使得其延后上课。

时间复杂度 \(O(n^2)\)。

如果实在理解不了，你也可以在外面套个二分，因为答案具有单调性。然后倒着 DP 检验即可，时间复杂度 \(O(n^2\log V)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,h,b;
int x[1005],t[1005];
int id[1005];
int dp[1005][1005][2];
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin>>n>>h>>b;h++;b++;int acth=0;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>x[i]>>t[i];x[i]++;acth=max(x[i],acth);if(t[id[x[i]]]<t[i])id[x[i]]=i;}h=acth;memset(dp,0x3f,sizeof dp);dp[1][h][0]=0;dp[1][h][1]=h-1;for(int i=h-1;i>=1;i--){for(int j=1;j<=h-i+1;j++){//[j,j+i-1]dp[j][j+i-1][1]=min(max(dp[j][j+i][1],t[id[j+i]])+1,max(dp[j-1][j+i-1][0],t[id[j-1]])+i);dp[j][j+i-1][0]=min(max(dp[j-1][j+i-1][0],t[id[j-1]])+1,max(dp[j][j+i][1],t[id[j+i]])+i);}}int ans=1e9;for(int i=1;i<=h;i++){ans=min(ans,max(dp[i][i][0],t[id[i]])+abs(b-i));}cout<<ans;return 0;
}

P9746 「KDOI-06-S」合并序列

注意：该题为选做题。

link

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_1,a_2,\ldots a_n\)。

你可以对这个序列进行若干（可能为 \(0\)）次操作。在每次操作中，你将会：

• 选择三个正整数 \(i<j<k\)，满足 \(a_i\oplus a_j\oplus a_k=0\) 且 \(k\) 的值不超过此时序列的长度。记 \(s=a_i\oplus a_{i+1}\oplus \cdots\oplus a_k\)。

• 然后，删除 \(a_i\sim a_k\)，并在原来这 \(k-i+1\) 个数所在的位置插入 \(s\)。注意，此时序列 \(a\) 的长度将会减少 \((k-i)\)。

请你判断是否能够使得序列 \(a\) 仅剩一个数，也就是说，在所有操作结束后 \(a\) 的长度为 \(1\)。若可以，你还需要给出一种操作方案。

\(n\leq 500\)，\(a_i<512\)。

Hint

大家可以尝试多建几个数组来在 DP 的时候分步合并转移。

题解

以下令 \(V=O(n)\)。

转换一下题意，设 \(f_{l,r}\) 为区间 \([l,r]\) 是否可以被消成一个数，如果需要让 \(f_{l,r}=1\)，那么我们需要满足存在 \(l\leq a<b\leq c<d\leq r\)，使得 \(f_{l,a}=f_{b,c}=f_{d,r}=1\) 且 \(\bigoplus_{i\in[l,a]\cup[b,c]\cup[d,r]}a_i=0\)。

首先肯定可以先 \(O(n^2)\) 预处理出所有区间的异或和，然后直接暴力枚举 \(a,b,c,d\)，时间复杂度 \(O(n^6)\)。

我们的目标是 \(O(n^3)\)，所以我们要把这 \(4\) 个维度的枚举变成 \(1\) 个维度的枚举，想到分步转移。假设最后枚举 \(d\)，我们可以设 \(g_{l,p}\) 代表满足 \(\bigoplus_{i\in[l,a]\cup[b,c]}=p\) 的最小的 \(c\)。这个时候还需要枚举 \(2\) 个维度，于是继续压。因为求的已经是最小的 \(c\) 了，为了方便就只能枚举 \(a\)。于是我们再设 \(h_{l,p}\) 表示满足 \(\bigoplus_{i\in[l+1,c]}=p\) 的最小的 \(c\)，这样我们就可以 \(O(n)\) 转移了。

\[\forall l,r,s=\bigoplus_{i=l}^ra_{i}\\ h_{i-1,s}\gets r(i\leq l)\\ g_{l,p}\gets h_{r,s\oplus p}\\ f_{l,r}\gets [g_{l,\oplus_{i=k}^ra_{i}}<k] \]

输出方案的时候，转移 \(f\) 的时候记录 \(d\)，转移 \(g\) 的时候记录 \(a\)，转移 \(h\) 的时候记录 \(b\) 即可。时间复杂度 \(O(n^3)\)。

因为这题是可以通过 \(>l\) 的信息转移到 \(l\) 上，所以转移顺序应该是倒序枚举 \(l\) 再枚举 \(r\)，根据第二个转移，我们需要顺序枚举 \(r\)，因为 \(>r\) 的右端点一定不会贡献 \(\leq r\) 的值。

交一发之后发现 T 在了 hack 数据，我们需要减小常数。

我们发现第一个转移 \(i\leq l-1\) 的部分可以变成最后在转移完 \(l\) 的时候进行 \(h_{l-1,p}\gets h_{l,p}\)。这样能减少 \(\frac{1}{3}\) 左右的常数，可以通过。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n;
int a[505];
int xors[505][505];
int h[505][515],g[505][515];
bool f[505][505];
int posh[505][515],posg[505][515],posf[505][505];
const int M=512;
struct op{int i,j,k;
};
vector<op> ans;
void getans(int l,int r){// cerr<<l<<" "<<r<<" "<<f[l][r]<<"\n";if(l==r)return;int d=posf[l][r];int a=posg[l][xors[d][r]];int b=posh[a][xors[d][r]^xors[l][a]];int c=g[l][xors[d][r]];getans(d,r);getans(b,c);getans(l,a);ans.push_back((op){l,b-(a-l),d-(a-l)-(c-b)});return;
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>T;int n;while(T--){memset(h,0x3f,sizeof h);memset(g,0x3f,sizeof g);memset(f,0,sizeof f);cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++){int tmp=0;for(int j=i;j<=n;j++){tmp^=a[j];xors[i][j]=tmp;}}for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=1;for(int i=n;i>=1;i--){int l=i;for(int j=i;j<=n;j++){int r=j;int tmp=0;for(int k=r;k>l;k--){tmp^=a[k];if(g[l][tmp]<k&&f[k][r]){f[l][r]=1;posf[l][r]=k;break;}}if(f[l][r]){if(h[l-1][xors[l][r]]>r)h[l-1][xors[l][r]]=r,posh[l-1][xors[l][r]]=l;for(int i=0;i<M;i++){if(g[l][i]>h[r][i^xors[l][r]])g[l][i]=h[r][i^xors[l][r]],posg[l][i]=r;}}}for(int i=0;i<M;i++)if(h[l-1][i]>h[l][i])h[l-1][i]=h[l][i],posh[l-1][i]=posh[l][i];}if(!f[1][n])cout<<"Shuiniao\n";else{// cerr<<f[2][4]<<"\n";cout<<"Huoyu\n";getans(1,n);cout<<ans.size()<<"\n";for(auto p:ans)cout<<p.i<<" "<<p.j<<" "<<p.k<<"\n";ans.clear();}}return 0;
}

P3607 [USACO17JAN] Subsequence Reversal P

link

给你一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，求翻转一个子序列之后最长的不下降子序列长度。

\(n\leq 50,a_i\leq 50\)。

Hint

尝试转化（或拆）一下翻转子序列这个操作呢？

题解

把翻转子序列这个操作拆成交换几个元素对，这些元素对满足两两均有包含关系。根据这个 包含关系，我们知道这道题是显然可以区间 DP 的。

所以我们设 \(f_{l,r,L,R}\) 为区间 \([l,r]\) 中的所有元素值在 \([L,R]\) 的最长子序列长度。枚举翻转和扩展的所有情况，转移较为容易，这里就不展开叙述。注意几个点就行了：

• 枚举翻转的时候不止可以转移两边都能扩展的子序列。
• 注意在 \([L,R]\) 内，所以这里要取一个类似于二维前缀 \(\max\) 的东西。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[55][55][55][55];
int n;
const int m=50;
int a[55];
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++){for(int l=1;l<=m;l++){for(int r=1;r<=m;r++){if(l<=a[i]&&r>=a[i])f[i][i][l][r]=1;}}}for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n-i+1;j++){//[j,j+i-1]if(a[j]>a[j+i-1]){//swap j j+i-1f[j][j+i-1][a[j+i-1]][a[j]]=2+f[j+1][j+i-2][a[j+i-1]][a[j]];}for(int p=max(a[j],a[j+i-1])+1;p<=m;p++)f[j][j+i-1][a[j+i-1]][p]=1+f[j+1][j+i-2][a[j+i-1]][p];for(int p=min(a[j],a[j+i-1])-1;p>=1;p--)f[j][j+i-1][p][a[j]]=1+f[j+1][j+i-2][p][a[j]];for(int p=1;p<=m;p++){for(int l=1;l<=m-p+1;l++){int r=l+p-1;//[j,j+i-1],[l,r]f[j][j+i-1][l][r]=max(f[j][j+i-1][l][r],f[j+1][j+i-1][l][r]);if(l<=a[j]&&a[j]<=r)f[j][j+i-1][l][r]=max(f[j][j+i-1][l][r],f[j+1][j+i-1][a[j]][r]+1);// if(j==1&&j+i-1==2)cerr<<j<<" "<<j+i-1<<" "<<l<<" "<<r<<" "<<f[j][j+i-1][l][r]<<" "<<a[j]<<"\n";f[j][j+i-1][l][r]=max(f[j][j+i-1][l][r],f[j][j+i-2][l][r]);if(r>=a[j+i-1]&&l<=a[j+i-1])f[j][j+i-1][l][r]=max(f[j][j+i-1][l][r],f[j][j+i-2][l][a[j+i-1]]+1);f[j][j+i-1][l][r]=max(f[j][j+i-1][l][r],f[j][j+i-1][l][r-1]);f[j][j+i-1][l][r]=max(f[j][j+i-1][l][r],f[j][j+i-1][l+1][r]);}}}}cout<<f[1][n][1][m];return 0;
}

P10041 [CCPC 2023 北京市赛] 史莱姆工厂

link

有 \(n\) 个史莱姆排成一行，其中第 \(i\) 个的颜色为 \(c_i\)，质量为 \(m_i\)。

你可以执行任意次把一个史莱姆的质量增加 \(1\) 的操作，需要花费 \(w\) 的价钱。

但是一旦史莱姆的质量达到 \(k\) 或以上，就会变得不稳定而必须在下一次操作之前被卖掉。你只能卖出质量大于等于 \(k\) 的史莱姆。根据市场价，卖掉一个质量为 \(i\) 的史莱姆可以得到 \(p_i\) 的收入。保证 \(p_i-p_{i-1}<w\)。但不保证 \(p_i\) 单调不降。

卖掉一个史莱姆之后，它两边的史莱姆会被挤压继而靠在一起。如果这两个史莱姆颜色相同，那么就会互相融合成一个史莱姆，其质量是二者的质量之和。这个新的史莱姆也有可能需要被卖掉从而接着进行这个过程。

你想知道卖掉所有史莱姆最多可以净赚多少。

\(n\leq 150\)，\(k\leq 10\)。

区间 DP 魔王。（仅凭洛谷评级来看）

Hint

对于一个区间，想想最后一个操作会发生在哪里，然后尝试把这个操作钦定发生在一个区间内的特殊的位置。

题解

参考了部分 Hanghang 的题解，但是 Hanghang 的题解中有些错误，怎么回事捏。

考虑对于一个区间，它的消除一定是通过几个不同的区间一起消除，或者是最后左右端点合并进行消除。所以我们一定能重排操作序列，使得这个区间的最后一次操作在左右端点处，这样方便于我们设计状态。因为这道题左右端点其实是差不多等价的，所以我们就定义 \(f_{l,r}\) 为消完区间 \([l,r]\) 之后的最大利润， \(fl_{l,r,p}\) 表示区间 \([l,r]\) 中消完最后剩下一个颜色为 \(c_{l}\)，重量为 \(p\) 的史莱姆的最大利润，需要保证中间的过程中，最左侧的史莱姆没有被消掉。

最后一次的消除有两种情况，第一种是花钱加重量后消除，第二种是两个同颜色的撞在一起之后可以直接消除。我们先来看第一种。

我们有一个比较显然的转移：

\[f_{l,r}\gets f_{l,k}+fl_{k+1,r,q}+p_{m}-(m-q)w \]

\(fl\) 的转移也较容易。首先有 \(fl_{l,r,m_l}\gets f_{l+1,r}\)。然后因为最左侧史莱姆没有消掉，所以有 \(fl_{l,r,p}\gets f_{l+1,k}+fl_{k+1,r,p-m_l}(c_{k+1}=c_l)\)。（为什么没有 \(fl_{l,k,p}+f_{k+1,r}\)：上面那个式子显然已经包含了这个东西）注意上述两个转移不能有边界上的合并颜色，下面的转移同样需要注意，后面就不赘述这一部分了。

接下来我们来转移第二种情况。采用分步转移的思想（因为再定义一个 \(fr\)，然后枚举两个颜色相等点转移的复杂度至少有一个 \(O(n^4)\)，无法通过），设 \(g_{l,r,p}\) 为合并完 \([l,r)\) 之后，剩下的物品颜色为 \(c_r\)，重量为 \(p\)。

所以我们显然有：\(f_{l,r}\gets g_{l,k,u}+fl_{k,r,q}+p_{u+q}\)。接下来转移 \(g\) 就大功告成了。而 \(g\) 其实和 \(fl\) 差不多：

\[g_{l,r,p}\gets f_{l,k}+fl_{k+1,r-1,p}(c_{k+1}=c_r) \]

总时间复杂度 \(O(n^3k^2)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k;
#define ll long long
ll p[21],w;
ll f[155][155],fl[155][155][11],fr[155][155][11],g[155][155][11];
void renew(ll &x,ll y){if(x<y)x=y;return;
}
int c[155],m[155];
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n>>k>>w;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>c[i];for(int j=1;j<=n;j++)cin>>m[j];for(int i=k;i<=2*k-2;i++)cin>>p[i];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i;j<=n;j++){f[i][j]=-1e18;for(int o=1;o<=k;o++)fl[i][j][o]=fr[i][j][o]=g[i][j][o]=-1e18;}}for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=p[k]-w*(k-m[i]),fl[i][i][m[i]]=fr[i][i][m[i]]=0;for(int i=2;i<=n;i++){for(int l=1;l<=n-i+1;l++){int r=l+i-1;fl[l][r][m[l]]=f[l+1][r];fr[l][r][m[r]]=f[l][r-1];for(int t=l+1;t<=r;t++)if(c[t]==c[l])for(int o=m[l]+1;o<k;o++)renew(fl[l][r][o],f[l+1][t-1]+fl[t][r][o-m[l]]);// for(int t=l;t<=r;t++)if(c[t]==c[r])for(int o=m[r]+1;o<k;o++)renew(fr[l][r][o],fr[l][t][o-m[r]]+f[t+1][r-1]);for(int t=l;t<=r;t++)if(c[l-1]!=c[t]&&c[t]!=c[r+1])for(int o=1;o<k;o++)renew(f[l][r],f[l][t-1]+fl[t][r][o]+p[k]-w*(k-o));for(int t=l;t<=r;t++)if(c[t]==c[r+1])for(int o=1;o<k;o++)renew(g[l][r][o],fl[t][r][o]+f[l][t-1]);for(int t=l+1;t<=r;t++)if(c[t]!=c[l-1]&&c[t]!=c[r+1])for(int o1=1;o1<k;o1++)for(int o2=1;o2<k;o2++)if(o1+o2>=k)renew(f[l][r],g[l][t-1][o1]+fl[t][r][o2]+p[o1+o2]);}}cout<<f[1][n];return 0;
}

背包 DP

背包 DP，顾名思义，即使用 DP 的思想解决把物品放到背包里的物品。想必大家对 01 背包，完全背包，多重背包，分组背包都掌握了。所以我们板题就不放了。

依赖性背包大多是树形背包，DAG 上的依赖背包作者不会，如果读者会的话可以私信作者。

有一些板题，我看大家好像没怎么做，这里还是浅浅说说吧。

一些板题

板题：P1064 [NOIP2006 提高组] 金明的预算方案

link

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 \(n\) 元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 \(0\) 个、\(1\) 个或 \(2\) 个附件。每个附件对应一个主件，附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的 \(n\) 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 \(5\) 等：用整数 \(1 \sim 5\) 表示，第 \(5\) 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 \(10\) 元的整数倍）。他希望在不超过 \(n\) 元的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 \(j\) 件物品的价格为 \(v_j\)，重要度为 \(w_j\)，共选中了 \(k\) 件物品，编号依次为 \(j_1,j_2,\dots,j_k\)，则所求的总和为：

\(v_{j_1} \times w_{j_1}+v_{j_2} \times w_{j_2}+ \dots +v_{j_k} \times w_{j_k}\)。

总物品个数为 \(m\)，请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

对于全部的测试点，保证 \(1 \leq n \leq 3.2 \times 10^4\)，\(1 \leq m \leq 60\)，\(0 \leq v_i \leq 10^4\)，\(1 \leq p_i \leq 5\)，\(0 \leq q_i \leq m\)，答案不超过 \(2 \times 10^5\)。

题解

这题看样子像一个依赖性背包问题，但是因为只可能有两个附件，而且附件没有其他附件，所以其实可以对每个主件讨论选不选附件，选多少附件，情况数较少。

把一个主件的所有情况分为一组，对全局做一个分组背包即可。

时间复杂度为 \(O(nm)\)。

对于大家来说过于简单，就不贴代码了。

习题，板题：P1941 [NOIP2014 提高组] 飞扬的小鸟

较为板子的题：P1417 烹调方案

link

一共有 \(n\) 件食材，每件食材有三个属性，\(a_i\)，\(b_i\) 和 \(c_i\)，如果在 \(t\) 时刻完成第 \(i\) 样食材则得到 \(a_i-t\times b_i\) 的美味指数，用第 \(i\) 件食材做饭要花去 \(c_i\) 的时间。

众所周知，gw 的厨艺不怎么样，所以他需要你设计烹调方案使得在总花费时间小于等于 \(T\) 时美味指数最大。

\(n\leq 50\)，其他数字均小于 \(10^5\)。

据说是泛化物品的一道题。随机大法好。

题解

这个题如果没有那个 \(a_{i}-t\times b_{i}\) 的美味指数限制，那就是一个显然的 01 背包问题。但是因为结束时间改变会导致权值改变，所以显然不能把所有物品看做等价。

因为从时间上枚举会导致物品算重，所以还是只能使用类似于背包的方法加入物品。我们尝试对于两个物品在最优解中的顺序进行贪心。

使用 exchange arguments 思想，考虑我们把最优顺序的两个物品交换顺序，我们发现只会有这两个物品受到影响，设这两个物品为 \(1\) 号和 \(2\) 号，\(1\) 号原来在前面，下面我们列出不等式：

\[\begin{aligned} a_1-tb_1+a_2-(t+c_1)b_2&\geq a_2-tb_2+a_1-(t+c_2)b_1\\ -c_1b_2&\geq -c_2b_1\\ c_1b_2&\leq c_2b_1\\ \frac{c_1}{b_1}&\leq\frac{c_2}{b_2} \end{aligned} \]

我们发现，这个东西可以变成一个每个元素可以算出来的值的比较，所以我们可以直接对这个值进行排序以得到最优的顺序，其他的就交给 01 背包就行了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,a[51],b[51],c[51];
long long dp[100005];
int id[51];
bool cmp(const int &x,const int &y){return 1ll*c[x]*b[y]<1ll*b[x]*c[y];
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>T>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],id[i]=i;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];for(int i=1;i<=n;i++)cin>>c[i];sort(id+1,id+n+1,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=T;j>=c[id[i]];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[id[i]]]+a[id[i]]-1ll*j*b[id[i]]);}}long long ans=0;for(int i=1;i<=T;i++)ans=max(ans,dp[i]);cout<<ans;return 0;
}