20240703总结（费用流）

A - Going Home

HDU1533 Going Home
题解：费用流板子题，没什么好说的

B - Boxes

SOPJ Boxes
题解：又一道费用流板子题，但是我以为它是个序列然而它是个环

C - The Most Reckless Defense

The Most Reckless Defense CF1955H
题解：省流，写了篇题解：
为什么所有题解都是状压 DP ，这题不是看着很网络流（最小费用最大流）吗？

首先还是分析一下 \(r\) 的取值范围，可以把敌人增加的血量理解为减少防御塔的伤害，那么一座防御塔的总伤害最多是 \(500\pi r^2 - 3^r\)，不难发现 \(r\) 最大为 \(12\)，这就很符合网络流的范围。

接下来建图，把防御塔当作左部点，半径为右部点。有几种类型的边：

第 \(1\) 类：源点向左部点连边，流量为 \(1\)，费用为 \(0\)。

第 \(2\) 类：右部点向汇点连边，流量为 \(1\)，费用为 \(0\)。

第 \(3\) 类：每一个左部点向每一个右部点连边，流量为 \(1\)，费用为这座防御塔在这个半径下的总伤害（减去了敌人增加的血量）的相反数。

对第 \(3\) 类边做一下解释：

费用流求的是最小费用，但是我们要求的是最大的伤害，所以取一个相反数，输出的时候反过来就行了。当然如果本来就是个负数肯定不连。

D - Heidi and Library (hard)

CF802C Heidi and Library (hard)
题解：考虑我们买了所有的书然后删掉一些的过程。

拆点，每个点有买和卖两个点。先从源点连向所有的买点，流量为1，费用为这本书价值。

然后每个买点向卖点连边，流量为1，费用为0，卖点向汇点连边，流量为1，费用为0

每一个买点向下一个买点连边，流量为k-1，费用为0，因为下一本书还要占一个位置

最后如果一本书之前有和它同类型的书，它的上一个买点连向上一本与它同类型的书，流量为1，费用为这种类型的书的价格的相反数（相当于上一种删掉一个同类型的书）

E - Machine Programming

CF164C Machine Programming
题解：对于每个任务，我们新建两个时间节点s[i]和t[i]代表起始时刻与终止时刻，并连一条容量为1，费用为c[i]的单向边。这类边限制了每个任务最多只能交给一台机器做，并且做了可以得到c[i]的利润。虑到值域很大，要离散化。

除此之外，还要按照时间顺序，将所有相邻的时间节点连接起来。将这些边的容量都设置为k，费用为0。也就是说每时每刻机器数量不能超过k，且闲置机器可以留到后面用，但不会得到利润。

现在我们把源点连向初始时间，最终时间连向汇点，跑最大费用最大流就可以了。输出方案时，只需要检查任务i对应的边有没有流量流经，有的话说明该任务被选择了。

G - 工作安排

P2488 [SDOI2011] 工作安排
题解：基本上就是版题，源点向每个员工多连几条边，设置一下流量即可

H - 软件开发

P2223 [HNOI2001] 软件开发
题解：先拆点，把每一天拆成早上和晚上（可以理解为早上是干净的毛巾，晚上是脏毛巾）。

源点和每天早上连边，流量为INF，费用为f，代表买新毛巾

源点和每天晚上连边，流量为当天所需的毛巾，意为一天结束获得这么多脏毛巾

早上和汇点连边，流量为当天所需的毛巾，费用为0，代表供应这么多新毛巾

第i天的晚上和第i+a+1天的早上连边，流量为INF，费用为fa（洗a天要a+1天后才能用）

第i天的晚上和第i+b+1天的早上连边，流量为INF，费用为fb（洗b天要b+1天后才能用）

I - 数字配对

P4068 [SDOI2016] 数字配对
题解：题目要求获得总价值不小于0的情况下匹配数最多，于是我们直接二分匹配数（流量）

考虑ai是aj倍数且ai除aj结果为质数的连边条件。可以把他们质因数分解，那么如果ai是aj的倍数且ai的质因子个数（重复的也算）比aj的大1，就可以匹配，所以根据质因子个数奇偶分成左部点和右部点，然后建一个超级汇点方便我们二分。剩下的建边就很简单了。