笛卡尔树（Cartesian Tree）
1. 定义
根据序列构造的满足以下性质的树：
- 二叉搜索树性质（BST）：\(key_{ls} \le key_x \le key_{rs}\)，\(key\) 默认为下标。
- 堆性质：\(val_{x} \le val_{ls} \le val_{rs}\).
2. 构造
- 如果有 \(key\) 作为第一关键字，则按 \(key\) 升序排序，否则默认下标为 \(key\)；
- 使用单调栈维护右链，按照 \(key\) 升序的顺序添加节点。
- 加入一个新节点 \(i\) 时，找到右链上第一个 \(val_j \le val_i\) 的节点，将 \(rs_j\) 作为 \(i\) 的左儿子，\(i\) 作为新的 \(rs_j\).
const int N = 1e5 + 5;
int n, root, v[N], fa[N], ls[N], rs[N];
stack<int> stk;void build()
{for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> v[i];while(!stk.empty() && v[stk.top()] > v[i])ls[i] = stk.top(), stk.pop();fa[i] = (!stk.empty() ? stk.top() : 0);if(!fa[i]) root = i;if(ls[i]) fa[ls[i]] = i;if(fa[i]) rs[fa[i]] = i;stk.push(i);}return;
}
3. 应用
3.1. 求区间最小值（RMQ）
建立小根笛卡尔树，区间 \([a, b]\) 的最小值是 \(val_{\operatorname{LCA}(a, b)}\).
利用 BST 的性质可以快速求 LCA.
复杂度为树的深度，随机数据下为 \(O(n \log n)\).
int find_min(int a, int b)
{int lca = root;while(lca < a || lca > b){if(lca < a) lca = rs[lca];if(lca > b) lca = ls[lca];}return v[lca];
}
3.2. 求最小值范围
给定一个无序序列和一个下标，求对应的值是多大范围内的最小值。
- 建立小根笛卡尔树，下标 \(i\) 对应的区间为 \(i\) 的子树中最左边的点到最右边的点。
3.3. 最大矩形
求下图的最大矩形（\(n \le 10^5\)）：
- 建立小根笛卡尔树，每个点的贡献是 \(\text{子树大小} \times \text{深度}\).
4. 例题
4.1. P1350 车的放置
\(f_{i,j}\)：在 \(i\) 的子树中放 \(j\) 个车的方案数。
\(f_{u, i} = \sum_{j=0}^i son_i \times j!\begin{pmatrix}i-1 \\j\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w-(i-j) \\j\end{pmatrix}\).
\(son_i = \sum_{j=0}^i (f_{lc, j} \times f_{rc, i-j})\).
在 \(n \times m\) 的矩形中放 \(k\) 个车：\(C_n^k \times C_m^k \times k!\).
