关于平衡树(施工中)

news/2024/10/6 3:18:13/文章来源:https://www.cnblogs.com/Elaina-0/p/18275500
$\LARGE {一些无聊的定义}$

二叉搜索树(BST树)

定义

二叉搜索树是一种二叉树的树形数据结构，其定义如下：

  • 空树是二叉搜索树。

  • 若二叉搜索树的左子树不为空，则其左子树上所有点的附加权值均小于其根节点的值。

  • 若二叉搜索树的右子树不为空，则其右子树上所有点的附加权值均大于其根节点的值。

  • 二叉搜索树的左右子树均为二叉搜索树。

复杂度

二叉搜索树上的基本操作所花费的时间与这棵树的高度成\(\color{#40c0bb}{正比}\)。对于一个有 \(n\) 个结点的二叉搜索树中，这些操作的最优时间复杂度为 \(O(\log n)\)，最坏为 \(O(n)\)。随机构造这样一棵二叉搜索树的\(\color{#40c0bb}{期望高度}\)为 \(O(\log n)\)。

性质

其实也就是定义

设 \(x\) 是二叉搜索树中的一个结点。

如果 \(y\) 是 \(x\) 左子树中的一个结点，那么 \(y.key≤x.key\)。

如果 \(y\) 是 \(x\) 右子树中的一个结点，那么 \(y.key≥x.key\)。

在二叉搜索树中：

  1. 若任意结点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均不大于它的根结点的值。

  2. 若任意结点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均不小于它的根结点的值。

  3. 任意结点的左、右子树也分别为二叉搜索树。

操作

二叉搜索树通常可以高效地完成以下操作：

  1. 查找最小/最大值

  2. 搜索元素

  3. 插入一个元素

  4. 删除一个元素

  5. 求元素的排名

  6. 查找排名为 k 的元素

平衡树

定义

由二叉搜索树的复杂度分析可知：操作的复杂度与树的高度 \(h\) 有关。

那么我们可以通过一定操作维持树的高度（平衡性）来降低操作的复杂度，这就是\(\color{#40c0bb}{平衡树}\)。

\(\color{#40c0bb} \large \textbf{平衡性}\)
通常指每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为 \(1\)。

平衡的调整过程——树旋转

定义

树旋转是在二叉树中的一种子树调整操作， 每一次旋转并\(\color{#40c0bb}{不影响}\)对该二叉树进行\(\color{#40c0bb}{中序遍历}\)的结果。
树旋转通常应用于需要调整树的局部平衡性的场合。树旋转包括两个不同的方式，分别是\(\color{#40c0bb}{左旋(Left　Rotate　或者 　zag)}\)和 \(\color{#40c0bb}{右旋(Right　Rotate　或者　zig)}\)。 两种旋转呈镜像，而且互为逆操作。

具体操作

右旋

对于结点 \(A\) 的右旋操作是指：将 \(A\) 的左孩子 \(B\) 向右上旋转，代替 \(A\) 成为根节点，将 \(A\) 结点向右下旋转成为 \(B\) 的右子树的根结点，\(B\) 的原来的右子树变为 \(A\) 的左子树。

左旋

完全同理

具体情况

至此，正片结束

背景

不难发现\(BST树\)的一种极端情况：\(\color{#40c0bb}{退化情况}\)

这种毒瘤数据让时间复杂度从\(O(log(n))\)退化到了恐怖的\(O(n)\)

于是就有各种各样的科学家们，开始思考人生，丧心病狂地创造出了各种优化BST的方法...

Splay

原理

啥是\(Splay\)？
她实际上就是一种可以旋转的平衡树。
她可以通过旋转保持\(\color{#40c0bb}{平衡性}\)从而解决退化情况。

（方框表示子树，圆框表示节点）

现在，我们要将 \(x\) 节点往上爬一层到他的父节点 \(y\) ，为了保证不改变中序遍历顺序，我们可以让 \(y\) 成为 \(x\) 的右儿子。

但是原来的 \(x\) 节点是有右儿子 \(B\) 的，显然我们要把 \(B\) 换一个位置才能达到目的。

我们知道： \(x\) 节点的右子树必然是大于 \(x\) 节点的； \(y\) 节点必然是大于 \(x\) 节点的右子树和 \(x\) 节点本身的（因为 \(x\) 节点及其右子树都是原来 \(y\) 的左子树，肯定比 \(y\) 小（根据二叉搜索树性质））

因此我们可以把 \(x\) 节点原来的右子树放在 \(y\) 的左儿子的位置上，达成目的。

实际上，这也就是\(\color{#40c0bb}\textbf{右旋}\)的原理。

对于通解：

若节点 \(x\) 为 \(y\) 节点的位置 \(z\)(\(z=0\) 为左节点，\(z=1\) 为右节点 )

  1. 将 \(y\) 节点放到 \(x\) 节点的 \(z \oplus 1\) 的位置.(也就是, \(x\) 节点为 \(y\) 节点的右子树,那么 \(y\) 节点就放到左子树, \(x\) 节点为 \(y\) 节点左子树,那么 \(y\) 节点就放到右子树位置)

  2. 如果说 \(x\) 节点的 \(z \oplus 1\) 位置上,已经有节点,或者一棵子树,那么我们就将原来 \(x\) 节点 \(z \oplus 1\) 位置上的子树,放到 \(y\) 节点的位置 \(z\) 上面.

操作

才不是因为我懒得写注释所以直接把代码粘过来了...

基本操作

  • \(maintain(x)\)：在改变节点位置后，将节点 \(x\) 的 \(\text{size}\) 更新。
  • \(get(x)\)：判断节点 \(x\) 是父亲节点的左儿子还是右儿子。
  • \(clear(x)\)：清空节点 \(x\)。

void maintain(int x){sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+cnt[x];
}bool get(int x){return x==ch[fa[x]][1];
}void clear(int x){ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=val[x]=sz[x]=cnt[x]=0;
}

旋转操作

void rotate(int x){int y=fa[x],z=fa[y],chk=get(x);ch[y][chk]=ch[x][chk^1];if(ch[x][chk^1]) fa[ch[x][chk^1]]=y;ch[x][chk^1]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x;maintain(y);maintain(x);
}

Splay操作

单点操作

void splay(int x) {for (int f = fa[x]; f = fa[x], f; rotate(x))if (fa[f]) rotate(get(x) == get(f) ? f : x);rt = x;
}

区间操作

对应 \(a_{R + 1}\) 的节点的左子树中序遍历为序列 \(a[L, R]\)，故其为区间 \([L, R]\) 代表的子树。

void splay(int x,int goal=0){if(goal==0) rt=x;while(fa[x]!=goal){int f=fa[x];if(fa[fa[x]]!=goal){rotate(get(x)==get(f)?f:x);}rotate(x);}
}

插入操作

void ins(int k){//insertif(!rt){val[++tot]=k;cnt[tot]++;rt=tot;maintain(rt);return;}int cur=rt,f=0;while(1){if(val[cur]==k){cnt[cur]++;maintain(cur);maintain(f);splay(cur);break;}f=cur;cur=ch[cur][val[cur]<k];if(!cur){val[++tot]=k;cnt[tot]++;fa[tot]=f;ch[f][val[f]<k]=tot;maintain(tot);maintain(f);splay(tot);break;}}
}

查询 \(x\) 的排名

int rk(int k){//the rank of "k"int res=0,cur=rt;while(1){if(k<val[cur]){cur=ch[cur][0];}else{res+=sz[ch[cur][0]];if(!cur) return res+1;if(k==val[cur]){splay(cur);return res+1;}res+=cnt[cur];cur=ch[cur][1];}}
}

查询排名 \(x\) 的数

int kth(int k){//the number whose rank is "k"int cur=rt;while(1){if(ch[cur][0] && k<=sz[ch[cur][0]]){cur=ch[cur][0];}else{k-=cnt[cur]+sz[ch[cur][0]];if(k<=0){splay(cur);return val[cur];}cur=ch[cur][1];}}
}

查询前驱&后继

前驱

int pre(){//precursorint cur=ch[rt][0];if(!cur) return cur;while(ch[cur][1]) cur=ch[cur][1];splay(cur);return cur;
}

后继

其实就是查前驱的反面

int nxt(){//next or successorint cur=ch[rt][1];if(!cur) return cur;while(ch[cur][0]) cur=ch[cur][0];splay(cur);return cur;
}

查前驱后继有好多种写法，如果想偷懒只写一遍就可以酱紫

int prenxt(int x,int k){//0 pre 1 nxtfind(x);int cur=rt;if(val[cur]<x && !k) return cur;if(val[cur]>x && k) return cur;cur=ch[cur][k];while(ch[cur][!k]){cur=ch[cur][!k];}return cur;
}

删除操作

void del(int k){//deleterk(k);if(cnt[rt]>1){cnt[rt]--;maintain(rt);return;}if(!ch[rt][0] && !ch[rt][1]){clear(rt);rt=0;return;}if(!ch[rt][0]){int cur=rt;rt=ch[rt][1];fa[rt]=0;clear(cur);return;}if(!ch[rt][1]){int cur=rt;rt=ch[rt][0];fa[rt]=0;clear(cur);return;}int cur=rt,x=pre();fa[ch[cur][1]]=x;ch[x][1]=ch[cur][1];clear(cur);maintain(rt);
}

Code

Elaina's Code 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define rd read()
#define inf 0x3f
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
#define Elaina 0
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';return x*f;
}
const int N=1e7+100;struct Slpay{int rt;//根 int tot;//节点编号 int fa[N];//父节点 int ch[N][2];//子节点 左0右1 int val[N];//权值 int cnt[N];//节点大小 int sz[N];//子树大小 void maintain(int x){//更新编号为x的结点的子树大小sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+cnt[x];}bool get(int x){//判断节点x是父亲节点的左儿子还是右儿子 return x==ch[fa[x]][1];}void clear(int x){//清空x节点 ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=val[x]=sz[x]=cnt[x]=0;}void rotate(int x){int y=fa[x],z=fa[y],chk=get(x);ch[y][chk]=ch[x][chk^1];if(ch[x][chk^1]) fa[ch[x][chk^1]]=y;ch[x][chk^1]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x;maintain(y);maintain(x);}void splay(int x,int goal=0){if(goal==0) rt=x;while(fa[x]!=goal){int f=fa[x];if(fa[fa[x]]!=goal){rotate(get(x)==get(f)?f:x);}rotate(x);}}void ins(int k){//insertif(!rt){val[++tot]=k;cnt[tot]++;rt=tot;maintain(rt);return;}int cur=rt,f=0;while(1){if(val[cur]==k){cnt[cur]++;maintain(cur);maintain(f);splay(cur);break;}f=cur;cur=ch[cur][val[cur]<k];if(!cur){val[++tot]=k;cnt[tot]++;fa[tot]=f;ch[f][val[f]<k]=tot;maintain(tot);maintain(f);splay(tot);break;}}}int rk(int k){//the rank of "k"int res=0,cur=rt;while(1){if(k<val[cur]){cur=ch[cur][0];}else{res+=sz[ch[cur][0]];if(!cur) return res+1;if(k==val[cur]){splay(cur);return res+1;}res+=cnt[cur];cur=ch[cur][1];}}}int kth(int k){//the number whose rank is "k"int cur=rt;while(1){if(ch[cur][0] && k<=sz[ch[cur][0]]){cur=ch[cur][0];}else{k-=cnt[cur]+sz[ch[cur][0]];if(k<=0){splay(cur);return val[cur];}cur=ch[cur][1];}}}int pre(){//precursorint cur=ch[rt][0];if(!cur) return cur;while(ch[cur][1]) cur=ch[cur][1];splay(cur);return cur;}int nxt(){//next or successorint cur=ch[rt][1];if(!cur) return cur;while(ch[cur][0]) cur=ch[cur][0];splay(cur);return cur;}void del(int k){//deleterk(k);if(cnt[rt]>1){cnt[rt]--;maintain(rt);return;}if(!ch[rt][0] && !ch[rt][1]){clear(rt);rt=0;return;}if(!ch[rt][0]){int cur=rt;rt=ch[rt][1];fa[rt]=0;clear(cur);return;}if(!ch[rt][1]){int cur=rt;rt=ch[rt][0];fa[rt]=0;clear(cur);return;}int cur=rt,x=pre();fa[ch[cur][1]]=x;ch[x][1]=ch[cur][1];clear(cur);maintain(rt);}void find(int x){int cur=rt;if(!cur) return;while(ch[cur][x>val[cur]]&&x!=val[cur]){cur=ch[cur][x>val[cur]];}splay(cur,0);}int get_pre(int x){find(x);int cur=rt;if(val[cur]<x) return cur;cur=ch[cur][0];while(ch[cur][1]){cur=ch[cur][1];}return cur;}int get_nxt(int x){find(x);int cur=rt;if(val[cur]>x) return cur;cur=ch[cur][1];while(ch[cur][0]){cur=ch[cur][0];}return cur;}int prenxt(int x,int k){//0 pre 1 nxtfind(x);int cur=rt;if(val[cur]<x && !k) return cur;if(val[cur]>x && k) return cur;cur=ch[cur][k];while(ch[cur][!k]){cur=ch[cur][!k];}return cur;}
}tr;signed main(){int m=rd;while(m--){int opt=rd,x=rd;if(opt==1){tr.ins(x);}else if(opt==2){tr.del(x);}else if(opt==3){printf("%lld\n",tr.rk(x));}else if(opt==4){printf("%lld\n",tr.kth(x));}else if(opt==5){tr.ins(x),printf("%lld\n",tr.val[tr.pre()]),tr.del(x);}else{tr.ins(x),printf("%lld\n",tr.val[tr.nxt()]),tr.del(x);}}return Elaina;
}

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