### 2024.7.5 【向之所欣,俯仰之间,已为陈迹。】
### Thursday 五月三十
---# 组合# 数学!~~可能公式比较多~~## 二项式!$$
\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n-1\\m-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n-1 \\m\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
n\\m
\end{pmatrix} =\frac {m!}{n!(m-n)!}
$$非常常见的递推式和计算式递推式即**加法恒等式**计算式即**阶乘展开式**所以$$
\begin{pmatrix}n \\m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n \\n-m\end{pmatrix}
$$称之为**对称**$$
\sum_{m=0}^{n}m\begin{pmatrix}n \\m\end{pmatrix} =
\sum_{m=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m \\1\end{pmatrix}
=\sum_{m=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-1 \\m-1\end{pmatrix}=n\sum_{m=0}^{n}\begin{pmatrix}n-1 \\m-1\end{pmatrix}=n\sum_{m=0}^{n-1}\begin{pmatrix}n-1 \\m\end{pmatrix}=n2^{n-1}
$$上面用到的这个
$$
\begin{pmatrix}
n \\r
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
r \\m
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n \\m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-m \\r-m\end{pmatrix}
$$
的公式,叫做**吸收恒等式**其意义为在n个中选择r,在r个中选择m个,等价于在n个中选择m个,再在剩余的n-m个中选r-m个
$$
\sum_{0\le k \le n}\begin{pmatrix}k \\ m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n+1 \\m+1\end{pmatrix}
$$
这个叫做**上指标求和**>在形如
>$$
>\begin{pmatrix}
>
>n \\m
>
>\end{pmatrix}
>$$
>公式中,我们将n称作**上指标**,相应的,m为**下指标**证明吗,考虑现实意义,我们在m+1个数中,枚举第一个数选择第k+1个的时候,剩余的选择方案,即
$$
\begin{pmatrix}k \\m\end{pmatrix}
$$
则,在总共m+1个数中,选取k+1个,即是枚举k的情况下,求解和值至于**下指标求和**吗
$$
\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\k\end{pmatrix} = 2^{n}
$$还是挺简单的吧/le至于**平行求和式**即
$$
\sum_{k \le n}\begin{pmatrix}r+k\\r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r+n+1\\n\end{pmatrix}
$$
证明:
$$
\sum _{k=0}^{n}\begin{pmatrix}m+k\\n\end{pmatrix}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}m+k\\m\end{pmatrix}+0=\sum_{k=0}^{n+m}\begin{pmatrix}m+k\\m\end{pmatrix}+\sum_{k=0}^{m-1}\begin{pmatrix}m+k\\m\end{pmatrix}=\sum_{k=0}^{n+m}\begin{pmatrix}
k\\m
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}m+n+1\\m+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m+n+1\\n\end{pmatrix}
$$
还是依据上指标求和解出来的以及**上指标反转**
$$
\begin{pmatrix}r\\k\end{pmatrix} = (-1)^{k}\begin{pmatrix}
k-r-1\\k\end{pmatrix}
$$证明:
$$
首先爆拆\\
\begin{pmatrix}r\\k\end{pmatrix} = \frac{r^{\underline{k} }}{k!}
\\
\begin{pmatrix}k-r-1\\k\end{pmatrix} = \frac{(k-r-1)^{\underline{k}}}{k!}
\\
r^{\underline{k}} = (-1)^k(k-r-1)^{\underline{k}}
\\
r*(r-1)*...*(r-k+1) = (-1)^k*(k-r-1)*(k-r-2)*...*(-r)
\\注意到\\
-r和r为相反数\\
r-k+1和k-r-1为相反数\\
则k为奇数时前后刚好差一个负号,
则由(-1)^k补上
$$