二维dp

阿里巴巴2023092501

题目描述

在一个 ( n × n ) 的正方形训练场上，每个位置都有一枚硬币。小明从左上角 (0, 0) 出发，跳跃可以按以下方式进行：

1. 向右走一步，再向上或向下走两步。
2. 向右走两步，再向上或向下走一步。

小明不能跳出训练场，也不能往回跳。目标是帮助小明获得尽可能多的硬币。

输入描述

• 第一行输入一个整数 n ( 3 ≤ n ≤ 1000 )，表示训练场的大小。
• 接下来 n 行，每行输入 n 个整数表示每个位置的硬币数量 ( a_ij ) ( 1 ≤ ( a_ij ) ≤ 10⁹ )。

输出描述

• 输出一个整数表示小明可以获得的最多硬币数量。

样例

输入：

3
1 1 4
5 1 4
1 9 19

输出：

14

限制：
1秒，1024KiB 内存。

思路

二维dp

1、枚举方向数组 ：
dx = {1, 1, 2, 2} (向右走一步或两步)
dy = {-2, 2, -1, 1} (向上或向下走两步或一步)

2、状态方程
dp[i][j] : 跳跃到(i,j) 小明可以获得的最多硬币数量为dp[i][j]。
dp[i][j] = max(dp[i+dx_i][j+dx_i],dp[i][j])
3、初始化
因为dp更新方向始终向右，所以只需要初始化最左边起点，
dp[0][0] = map[0][0]
因为 0 ≤ 1 ≤ ( a_ij ) ， 其余默认初始化为0就可以了

import java.io.*;
import java.util.*;public class Main {static int[][] map;static long[][] dp;static int[] dy = {-2, 2, -1, 1};static int[] dx = {1, 1, 2, 2};public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));int n = Integer.parseInt(reader.readLine());map = new int[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {String[] split = reader.readLine().split(" ");for (int j = 0; j < n; j++) {map[i][j] = Integer.parseInt(split[j]);}}dp = new long[n][n];for (long[] p : dp) Arrays.fill(p, Long.MIN_VALUE / 2);dp[0][0] = map[0][0];//外层循环应从 j = 1 开始，这样每次只会考虑向右的移动。for (int j = 1; j < n; j++) {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int d = 0; d < 4; d++) {int nx = i - dy[d];int ny = j - dx[d];if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= n) {continue;}dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[nx][ny] + map[i][j]);}}}long res = 0L;for (int i = 0; i < n; i++) {res = Math.max(res, dp[i][n - 1]);}System.out.println(res);}
}

4741魔法百合井

森林里有一口魔法井，井中有 ( L ) 朵百合花。

你可以向井里投入硬币来获取百合花：

1. 投入 1 个硬币，可以得到 1 朵百合花。
2. 投入 4 个硬币，记录当前篮子里的百合花数量。
3. 投入 2 个硬币，得到上次记录数量的百合花。

如果井中百合花数量不足，投入 1 个或 2 个硬币不会有任何效果。

请计算为了获取所有百合花，所需的最少硬币数量。

输入格式

• 第一行包含整数 ( T )，表示测试数据的组数。
• 接下来 ( T ) 行，每行包含一个整数 ( L )，表示井中百合花的数量。

输出格式

• 对于每组数据，输出结果格式为 Case #x: y，其中 ( x ) 为组别编号（从 1 开始），( y ) 为需要的最少硬币数量。

数据范围

• ( 1 ≤ T ≤ 100 )
• ( 1 ≤ L ≤ 10^5 )

输入样例

2
5
20

输出样例

Case #1: 5
Case #2: 15

样例解释

• Case 1: 投入 5 次 1 个硬币，共 5 个硬币。
• Case 2: 投入 5 次 1 个硬币，再投入 4 个硬币记录，然后 3 次 2 个硬币，共 15 个硬币。

思路

f_[i] : 表示获得i朵百合花的最少硬币数量

状态转移方程简化

操作1

选择1可以得到状态转移方程：
f[i] = f[i-1] + 1

操作2

1. 选择3累加上次记录的百合花。
2. 要使用选择3，必须先使用选择2。
3. 使用选择2后可以连续执行选择3。
4. 设使用选择3的次数为 ( j )，选择3前的百合花数量为 ( i )。i,j∈[1,n]
5. 使用 ( j ) 次选择3后的百合花总数为 ( (j+1) * i )。
6. 花费的硬币数量为 ( 4 + 2 * j )。

所以状态转移方程为：

f_{(j+1) * i} = min(f_{(j+1) * i}, f_i + 4 + 2 * j)

import java.util.*;
public class Main{static int N = (int)1e5 + 10;static int[] dp = new int[N];static {// dp[0] = 0 for (int i = 1; i < N; i++) dp[i] = 0x3f3f3f3f;for (int i = 1; i < N; i++) {dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - 1] + 1);for (int j = 1,  i * (j + 1); i * (j + 1) < N; j++) { dp[i * (j + 1)] = Math.min(dp[i * (j + 1)], dp[i] + 4 + 2 * j);}}}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);for (int i = 1, tol = sc.nextInt(); i <= tol; i++) {int n = sc.nextInt();System.out.println("Case #" + i +": " + dp[n]);}}
}

阿里巴巴淘天2023090202

定义一个“特别数组”，满足以下三个条件:

1. 对于 1 ≤ i ≤ n，有 1 ≤ a_i ≤ m
2. 对于 1 ≤ i ≤ n，a_i 是 i 的倍数。
3. a₁ + a₂ + ... + a_n 是 n 的倍数。

给出 n 和 m，求满足条件的“特别数组”数量，对 10^9 + 7 取模。

输入描述：

两个正整数 n 和 m，用空格隔开。
1 ≤ n, m ≤ 1000

输出描述：

特别数组的数量，对 10^9 + 7 取模。

示例：

输入：

3 5

输出：

4

思路:

二维dp+枚举

f[i][j] : 前i个数的总和结果对n取模的结果为j的方案数.
1.对i个数进行枚举，1 ≤ i ≤ n；
2.对前i-1个数可能的总和(j)进行枚举，因为需要对n进行取模（j为n的倍数），所以j∈[0,n)（条件3）；
3.对于第i个数ai（1 ≤ ai ≤ m），可能的值为i,2*i,...,n(条件2)
4.dp[i][(j+ai)%n] = (dp[i-1][j] + dp[i][(j+ai)%n])%(1e9+7)

import java.io.BufferedReader;
import java.io.File;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;/*** @author 17259* @create 2024-06-18 10:32*/
public class Main {static final int mod = (int) 1E9 + 7;public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));String[] split = reader.readLine().split(" ");int n = Integer.parseInt(split[0]);int m = Integer.parseInt(split[1]);System.out.println(solve(n, m));}private static long solve(int n, int m) {long[][] dp = new long[n + 10][m + 10];dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {// j = dp[i-1][j] : 前i-1个数总和...for (int j = 0; j < n; j++) {for (int k = i; k <= m; k += i) {dp[i][(j + k) % n] = (dp[i - 1][j] + dp[i][(j + k) % n]) % mod;}}}return dp[n][0];}
}

携程2023090704

给定一个只包含字符 '0' 和 '1' 的字符串，求该字符串中有多少个“好字串”。“好字串”的定义是其所有前缀中 '0' 的数量严格大于 '1' 的数量。

输入描述

一个只包含 '0' 和 '1' 的字符串，长度不超过 100000。

输出描述

一个整数，表示“好字串”的数量。

示例

输入

10

输出

1

说明

子区间 [2, 2] 组成的子串是一个好串。

输入

11010

输出

2

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);String s = scanner.nextLine();long res = 0;int cnt = 0;for(char ch : s.toCharArray()){if(ch == '0'){cnt++;}else{cnt = Math.max(cnt - 1, 0);}res += cnt;}System.out.println(res);}
}