给定一个向量函数\(( \mathbf{s}(t) )\)，
它的导数是\(( \mathbf{s}'(t) = \frac{d\mathbf{s}}{dt} )\)，
而单位切向量是\(( \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||} )\)。
这里的单位切向量\(( \mathbf{T}(t) )\)指向曲线在点t处的切线方向，并且其长度为1。这和\(\mathbf{s}'(t)\)并不完全相等，因为后者可能有任意的长度，而前者被规范化了。
对于向量函数 \((\mathbf{s}(t))\) 的单位切向量 \((\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||})\)，其导数 \((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 描述了单位切向量随时间 (t) 的变化率，即切向量方向或大小的变化速度。
计算 \((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 需要应用链式法则和商法则，考虑到 \((\mathbf{T}(t))\) 是 \((\mathbf{s}'(t))\) 和其模长 \((||\mathbf{s}'(t)||)\) 的函数。具体地，我们有：
\([ \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||} ]\)
对两边同时求导得：
\([ \frac{d\mathbf{T}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||}\right) ]\)
这涉及到 \((\mathbf{s}'(t))\) 的导数 \((\mathbf{s}''(t))\) 以及 \((||\mathbf{s}'(t)||)\) 的导数。由于 \((||\mathbf{s}'(t)||)\) 是一个标量，其导数涉及向量的模长对向量自身的导数，这通常会引入额外的项，如向量的方向和模长的变化率。
\((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 的具体表达式依赖于 \((\mathbf{s}(t))\) 的具体形式，但通常它会涉及到曲率 \((\kappa(t))\) 和法向量 \((\mathbf{N}(t))\) 的概念，其中 \((\mathbf{N}(t))\) 是单位切向量 \((\mathbf{T}(t))\) 在点 (t)$ 处的单位法向量。
在许多情况下，\((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 可以表示为 \((\kappa(t)\mathbf{N}(t))\)，其中 \((\kappa(t))\) 是曲线在点 (t)$ 处的曲率。
因此，\((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 的确切值需要根据具体的向量函数 \((\mathbf{s}(t))\) 来确定。
\([ \frac{d\mathbf{T}}{dt} = \frac{\mathbf{s}''(t)||\mathbf{s}'(t)|| - \mathbf{s}'(t)\left(\mathbf{s}'(t) \cdot \mathbf{s}''(t)\right)}{||\mathbf{s}'(t)||^3} ]\)
这里，分子的第一部分是 \((\mathbf{s}''(t))\) 乘以其模长，代表加速的方向；
第二部分是 \((\mathbf{s}'(t))\) 与 \((\mathbf{s}''(t))\) 点积的结果，乘以 \((\mathbf{s}'(t))\)，表示速度向量在加速方向上的投影。分母是 \((\mathbf{s}'(t))\) 模长的三次方，用于保证结果仍然是单位向量。
