[数据结构] 二叉搜索树基本操作

定义

二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其定义如下：

1. 空树是二叉搜索树。
2. 若二叉搜索树的左子树不为空，则其左子树上所有点的附加权值均小于其根节点的值。
3. 若二叉搜索树的右子树不为空，则其右子树上所有点的附加权值均大于其根节点的值。
4. 二叉搜索树的左右子树均为二叉搜索树。

操作

CRUD

二叉搜索树的基本操作有：查询、新增、删除；

这些操作的最优时间复杂度为 \(O(\log n)\) ，最坏时间复杂度为 \(O(n)\)，随机构建的二叉搜索树的期望高度为 \(O(\log n)\)。

遍历

根据二叉搜索树的定义可知：二叉搜索树的中序遍历结果是非降序序列。

遍历二叉搜索树的时间复杂度是 \(O(n)\)。

let arr = [];
function traverse(root){if(root==null)return;traverse(root.left);arr.push(root.val);traverse(root.right);
}
traverse(root);
console.log(arr);

查找最值

• 最小值为二叉搜索树最左边的节点；
• 最大值为二叉搜索树最右边的节点。

function findMinNode(root){while(root.left!==null){root = root.left;}return root;
}function findMaxNode(root){while(root.right!==null){root = root.right;}return root;
}

搜索

递归搜索，分类讨论：

• 若root为空，则已到达叶子节点，找不到指定值；
• 若root的值为target，则搜索到目标值；
• 若root的值大于target，则在root的左子树中继续搜索；
• 若root的值小于target，则在root的右子树中继续搜索。

function search(root, target){if(root==null)return null;if(root.val == target){return root;}else if(target < root.val){return search(root.left, target);}else{return search(root.right, target);}
}

插入一个元素

flowchart TDid1((30)) --> id2((15)) & id3((41))id3((41)) --> id4((35)) & id5((48))id4((35)) --> id6((33)) & id7((36))

在以 root 为根节点的二叉搜索树中插入一个值为 value 的节点。

分类讨论：

• 若root为空，直接返回一个值为value的新节点；
• 如果root的值等于value，表示元素已存在，根据应用场景做相关处理（有的设计是节点的count属性+1，有的设计是不做处理）；
• 如果root的值大于value，则在root的左子树中插入值为value的节点；
• 如果root的值小于value，则在root的右子树中插入值为value的节点。

function insert(root, value){if(root==null)return new TreeNode(value);if(root.val > value){root.left = insert(root.left, value);}else if(root.val < value){root.right = insert(root.right, value);}else{// root.val == value}return root;
}

删除一个元素

flowchart TDid1((30)) --> id2((15)) & id3((41))id3((41)) --> id4((35)) & id5((48))id4((35)) --> id6((33)) & id7((36))

在以 root 为根节点的二叉搜索树中删除一个值为 value 的节点。

分类讨论：

• 若root为叶子节点，则直接删除；
• 若root只有一个子节点，则返回这个子节点；
• 若root有两个子节点，一般用右子树的最小值代替它，然后将它删除。(具体的操作是将右子树的最小值赋值给它，然后去右子树中递归删除这个值，完成“代替”)

function remove(root, value){if(root==null)return null;if(value < root.val){// 在左子树中搜索并删除目标节点root.left = remove(root.left, value);return root;}else if(value > root.val){// 在右子树中搜索并删除节点root.right = remove(root.right, value);return root;}else{// 找到节点了// case 1: 叶子节点if(root.left==null && root.right==null){root = null;return root;}// case 2: 一个子节点if(root.left==null){return root.right;}else if(root.right==null){return root.left;}// case 3: 两个子节点const findMinNode = (root)=>{while(root.left!==null){root = root.left;}return root;}const rightMin = findMinNode(root.right);root.val = rightMin.val;root.right = remove(root.right, rightMin.val);return root;}
}

题外话——Mermaid

Mermaid官方文档：流程图语法 | Mermaid 中文网 (nodejs.cn)

最近发现一个在Markdown里画图挺好用的工具，比如上面的二叉树就是用Mermaid画的，可以用指令实现一些简单的图表绘制。

比如下面这段指令：

flowchart TDid1((30)) --> id2((15)) & id3((41))id3((41)) --> id4((35)) & id5((48))id4((35)) --> id6((33)) & id7((36))

• flowchart：流程图；
• TD：从上到下的绘制方向；
• id*：标识符，和变量名一个道理；
• ((val))：val是节点中的值，(())表示圆形，[]表示矩形；
• -->：箭头，==>更粗的箭头；
• &：表示语句的组合，如果没有这个&，则需要编写两行指令分别表示左右子节点的配置。

效果图：

flowchart TDid1((30)) --> id2((15)) & id3((41))id3((41)) --> id4((35)) & id5((48))id4((35)) --> id6((33)) & id7((36))

参考文章

[1] 二叉搜索树 & 平衡树 - OI Wiki

[2] 二叉搜索树_百度百科 (baidu.com)

[3] 数据结构——二叉搜索树详解-CSDN博客

[4] 流程图语法 | Mermaid 中文网 (nodejs.cn)