线性规划模型复习总结

线性规划（Linear Programming, LP）是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下最大化或最小化目标函数。线性规划广泛应用于经济、工程、管理等领域，通过建立数学模型，帮助决策者找到最优解决方案。

一、线性规划数学模型

1.1 模型三要素

• 目标函数（Objective Function）
  目标函数是线性规划中需要优化的函数，通常表示为线性形式。目标函数可以是需最大化的利润或最小化的成本。例如，在一个生产问题中，目标函数可以是某种商品的总利润，需要通过调整生产量来最大化这个值。目标函数的一般形式为：

\[Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n \]

其中：\(Z\)是目标值；\(c_1, c_2, \ldots, c_n\)是目标函数的系数；\(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 是决策变量。

• 约束条件（Constraints）
  约束条件是限制决策变量取值范围的线性不等式或等式。这些条件通常反映了资源的有限性、技术限制等。例如，在生产问题中，约束条件可能包括生产时间、原材料、资金等的限制。约束条件的一般形式为：

\[\begin{align*} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n &\leq b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n &\leq b_2 \\ \vdots \quad \quad &\ddots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n &\leq b_m \\ \end{align*} \]

其中：\(a_{ij}\)是约束条件的系数；\(b_i\)是约束条件的右端常数；\(m\)是约束条件的数量。

• 非负性约束（Non-negativity Constraints）
  在大多数实际问题中，决策变量通常需要非负，即每个变量必须大于或等于零。这反映了实际情况中物理量（如生产量、时间等）不能为负值。非负性约束的一般形式为：$$x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, \ldots, x_n \geq 0$$

1.2 建模过程

问题描述：某公司生产两种产品A和B，每生产一单位A可获利3元，每生产一单位B可获利5元。生产A需要2小时工作时间和1单位原材料，生产B需要1小时工作时间和2单位原材料。现公司有100小时工作时间和80单位原材料。问公司应如何安排生产才能使利润最大化？

• 决策变量

  • 设\(x_1\)为产品A的生产数量，
  • 设\(x_2\)为产品B的生产数量。

• 目标函数
  需要最大化利润，目标函数为：

\[\text{Maximize } Z = 3x_1 + 5x_2 \]

• 约束条件

  • \(2x_1 + x_2 \leq 100\)（工作时间约束）
  • \(x_1 + 2x_2 \leq 80\) （原材料约束）

• 可行性约束

  • \(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)

通过上述步骤，建立了一个完整的线性规划数学模型。该模型可以通过图解法、单纯形法或其他优化算法求解，从而找到最优生产方案。线性规划不仅为决策者提供了一种系统化的决策工具，而且在资源优化配置方面具有重要意义。

1.3 图解法

\[\begin{align*} \max \quad & z = 2x_1 + 2x_2 \\ \text{s.t.} \quad & 5x_1 + 2x_2 \leq 15 \\ & 6x_1 + 2x_2 \leq 24 \\ & x_1 + x_2 \leq 5 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{align*}\]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import linprog# 定义绘图的范围
x1 = np.linspace(0, 10, 400)# 定义约束条件
y1 = 15 / 5
y2 = (24 - 6 * x1) / 2
y3 = 5 - x1# 绘制可行域
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.plot(x1, y2, label=r'$6x_1 + 2x_2 \leq 24$')
plt.plot(x1, y3, label=r'$x_1 + x_2 \leq 5$')
plt.axhline(y=y1, color='r', linestyle='-', label=r'$5x_2 \leq 15$')
plt.xlim((0, 10))
plt.ylim((0, 10))
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')# 填充可行域
plt.fill_between(x1, 0, np.minimum(np.minimum(y1, y2), y3), where=(x1<=10), color='grey', alpha=0.5)# 标记可行域
plt.legend()# 求解线性规划问题
c = [-2, -1]  # 因为linprog求解的是最小化问题，所以目标函数取反
A = [[6, 2], [1, 1], [0, 5]]
b = [24, 5, 15]# 使用linprog求解
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=(0, None), method='highs')if res.success:# 绘制目标函数的最优解点plt.plot(res.x[0], res.x[1], 'ro', label='Optimal Solution')plt.legend()plt.show()print(f"Optimal value: {res.fun * -1:.2f}")  # 最大化目标函数的最优值print(f"Optimal solution: x1 = {res.x[0]:.2f}, x2 = {res.x[1]:.2f}")
else:print("No solution found")

二、建模示例

1.1 例1

某公司在计划期内要安排生产A、B两种产品（假设市场销路很好）。生产单位产品的利润以及所需的劳动力、设备台时以及原材料的消耗资料如下表所示。

产品	A	B
劳动力（工时）	9	4	360
设备（台时）	4	5	200
原材料（千克）	3	10	300
单位产品利润	70	120

• 决策变量

  • 设\(x_1\)为产品A的生产数量
  • 设\(x_2\)为产品B的生产数量

• 目标函数
  最大化利润，目标函数为：

\[\text{Maximize } Z = 70x_1 + 120x_2 \]

• 约束条件
  • 劳动力约束：\(9x_1 + 4x_2 \leq 360\)
  • 设备台时约束：\(4x_1 + 5x_2 \leq 200\)
  • 原材料约束：\(3x_1 + 10x_2 \leq 300\)
  • 非负性约束：\(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)

将上述内容整合，线性规划的数学模型为：

\[ \text{Maximize } Z = 70x_1 + 120x_2 \] \[ \text{subject to} \] \[ 9x_1 + 4x_2 \leq 360 \] \[ 4x_1 + 5x_2 \leq 200 \] \[ 3x_1 + 10x_2 \leq 300 \] \[ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\]

这个数学模型可以通过图解法或使用线性规划求解器（如linprog）求解，从而找到最优的生产数量\(x_1\)和\(x_2\)以使得公司利润最大化。

1.2 例2

每种蓅菜含有的营养素成份是不同的, 从医学上知道每人每周对每种营养成分的最低需求量。某医院营养室在制定下一周菜单时, 需要确定表中所列六种荒菜的供应量, 以便使费用最小而又能满足营养素等其它方面的要求。规定白菜的供应一周内不多于 20 kg , 其它蔬菜的供应在一周内不多于 40 kg , 每周共需供应 140 kg 蔬菜, 为了使费用最小又满足营养素等其它方面的要求,问在下一周内应当供应每种疏菜各多少 kg ?

序号	蔬菜	铁	磷	维生素A	维生素C	烟酸	每千克费用
1	青豆	0.45	10	415	8	0.30	5
2	胡萝卜	0.45	28	9065	3	0.35	5
3	菜花	1.05	59	2550	53	0.60	8
4	白菜	0.40	25	75	27	0.15	2
5	甜菜	0.50	22	15	5	0.25	6
6	土豆	0.50	75	235	8	0.80	3

要求蔬菜提供的营养	铁	磷	维生素A	维生素C	烟酸	备注
要求值	6.00	25	17500	245	5.00

• 决策变量
  设\(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6\)分别为青豆、胡萝卜、菜花、白菜、甜菜、土豆的供应量（kg）。

• 目标函数

\[\text{Minimize } Z = 5x_1 + 5x_2 + 8x_3 + 2x_4 + 6x_5 + 3x_6 \]

• 约束条件
  满足营养需求，每种蔬菜的供应量上限，以及总供应量。
  • 铁的约束：

\[0.45x_1 + 0.45x_2 + 1.05x_3 + 0.40x_4 + 0.50x_5 + 0.50x_6 \geq 6.00 \]

• 磷的约束：

\[10x_1 + 28x_2 + 59x_3 + 25x_4 + 22x_5 + 75x_6 \geq 25 \]

• 维生素A的约束：

\[415x_1 + 9065x_2 + 2550x_3 + 75x_4 + 15x_5 + 235x_6 \geq 17500 \]

• 维生素C的约束：

\[8x_1 + 3x_2 + 53x_3 + 27x_4 + 5x_5 + 8x_6 \geq 245 \]

• 烟酸的约束：

\[0.30x_1 + 0.35x_2 + 0.60x_3 + 0.15x_4 + 0.25x_5 + 0.80x_6 \geq 5 \]

• 蔬菜供应量上限：

\[x_4 \leq 20 \quad x_1, x_2, x_3, x_5, x_6 \leq 40 \]

• 总供应量：

\[x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 140 \]

• 非负性约束：

\[x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0 \]

• 数学模型

\[\begin{align*} \text{Minimize } Z = & 5x_1 + 5x_2 + 8x_3 + 2x_4 + 6x_5 + 3x_6 \\ \text{subject to } & \\ & 0.45x_1 + 0.45x_2 + 1.05x_3 + 0.40x_4 + 0.50x_5 + 0.50x_6 \geq 6.00 \\ & 10x_1 + 28x_2 + 59x_3 + 25x_4 + 22x_5 + 75x_6 \geq 25 \\ & 415x_1 + 9065x_2 + 2550x_3 + 75x_4 + 15x_5 + 235x_6 \geq 17500 \\ & 8x_1 + 3x_2 + 53x_3 + 27x_4 + 5x_5 + 8x_6 \geq 245 \\ & 0.30x_1 + 0.35x_2 + 0.60x_3 + 0.15x_4 + 0.25x_5 + 0.80x_6 \geq 5 \\ & x_4 \leq 20 \\ & x_1, x_2, x_3, x_5, x_6 \leq 40 \\ & x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 140 \\ & x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0 \end{align*}\]

这个模型可以通过线性规划求解器（如 linprog）来求解，从而找到最小费用的蔬菜供应方案。

参考资料

1. 《运筹学》考研考点讲义
2. 《运筹学》知识点全总结