Splay 学习笔记

news/2024/9/19 18:03:05/文章来源:https://www.cnblogs.com/Kang-shifu/p/18308212

Splay 树, 或伸展树，是一种平衡二叉查找树，它通过 Splay/伸展操作不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，能够在均摊 O(\log N) 时间内完成插入，查找和删除操作，并且保持平衡而不至于退化为链。

Splay 树由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan 于 1985 年发明。
code:

using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
int root,tot,fa[maxn],ch[maxn][2],val[maxn],cnt[maxn],sz[maxn];
int rt;
struct Splay{void maintain(int x){sz[x] = sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+cnt[x];//在改变节点位置后，将节点x的size更新 }bool get(int x){//判断x是父节点的左儿子还是右儿子 return x == ch[fa[x]][1];}void clear(int x){//销毁节点x ch[x][0] = ch[x][1] = fa[x] = val[x] = sz[x] = cnt[x] = 0;}/*将 y 的左儿子指向 x 的右儿子，且 x 的右儿子（如果 x 有右儿子的话）的父亲指向 y；ch[y][0]=ch[x][1]; fa[ch[x][1]]=y;将 x 的右儿子指向 y，且 y 的父亲指向 x；ch[x][chk^1]=y; fa[y]=x;若原来的 y 还有父亲 z，那么把 z 的某个儿子（原来 y 所在的儿子位置）指向 x，且 x 的父亲指向 z。fa[x]=z; if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x;*/ void rotate(int x){int y = fa[x],z = fa[y],chk = get(x);ch[y][chk] = ch[x][chk^1];if(ch[x][chk^1]) fa[ch[x][chk^1]] = y;ch[x][chk^1] = y;fa[y] = x;fa[x] = z;if(z) ch[z][y == ch[z][1]] = x;maintain(y);maintain(x); }/*Splay 操作规定：每访问一个节点 x 后都要强制将其旋转到根节点。Splay 操作即对 x 做一系列的 splay 步骤。每次对 x 做一次 splay 步骤，x 到根节点的距离都会更近。定义 p 为 x 的父节点。Splay 步骤有三种，具体分为六种情况：*/void splay(int x){for(int f = fa[x];f = fa[x],f;rotate(x)){if(fa[f]) rotate(get(x) == get(f)?f:x);}rt = x;}/*如果树空了，则直接插入根并退出。如果当前节点的权值等于 k 则增加当前节点的大小并更新节点和父亲的信息，将当前节点进行 Splay 操作。否则按照二叉查找树的性质向下找，找到空节点就插入即可（请不要忘记 Splay 操作）。*/void ins(int k){if(!rt){val[++tot] = k;cnt[tot]++;rt = tot;maintain(rt);return;}int cur = rt,f = 0;while(1){if(val[cur] == k){cnt[cur]++;maintain(cur);maintain(f);splay(cur);break;}f = cur;cur = ch[cur][val[cur]<k];if(!cur){val[++tot] = k;cnt[tot]++;fa[tot] = f;ch[f][val[f]<k] = tot;maintain(f);maintain(tot);splay(tot);break;}}}/*如果 x 比当前节点的权值小，向其左子树查找。如果 x 比当前节点的权值大，将答案加上左子树（size）和当前节点（cnt）的大小，向其右子树查找。如果 x 与当前节点的权值相同，将答案加 1 并返回。*/int rk(int k){int res = 0,cur = rt;while(1){if(k < val[cur]){cur = ch[cur][0];}else{res += sz[ch[cur][0]];if(!cur) return res+1;if(k == val[cur]){splay(cur);return res+1;}res += cnt[cur];cur = ch[cur][1];}}}/*如果左子树非空且剩余排名 k 不大于左子树的大小 size，那么向左子树查找。否则将 k 减去左子树的和根的大小。如果此时 k 的值小于等于 0，则返回根节点的权值，否则继续向右子树查找。*/int kth(int k) {int cur = rt;while (1) {if (ch[cur][0] && k <= sz[ch[cur][0]]) {cur = ch[cur][0];} else {k -= cnt[cur] + sz[ch[cur][0]];if (k <= 0) {splay(cur);return val[cur];}cur = ch[cur][1];}}}/*前驱定义为小于 x 的最大的数，那么查询前驱可以转化为：将 x 插入（此时 x 已经在根的位置了），前驱即为 x 的左子树中最右边的节点，最后将 x 删除即可。*/int pre(){int cur = ch[rt][0];if(!cur) return cur;while(ch[cur][1]) cur = ch[cur][1];splay(cur);return cur;}int nex(){//后继 int cur = ch[rt][1];if (!cur) return cur;while(ch[cur][0]) cur = ch[cur][0];splay(cur);return cur;}/*首先将 x 旋转到根的位置。如果 cnt[x]>1（有不止一个 x），那么将 cnt[x] 减 1 并退出。
否则，合并它的左右两棵子树即可。合并:
如果 x 和 y 其中之一或两者都为空树，直接返回不为空的那一棵树的根节点或空树。
否则将 x 树中的最大值 \operatorname{Splay} 到根，然后把它的右子树设置为 y 并
更新节点的信息，然后返回这个节点。 
*/void del(int k) {rk(k);if (cnt[rt] > 1) {cnt[rt]--;maintain(rt);return;}if (!ch[rt][0] && !ch[rt][1]) {clear(rt);rt = 0;return;}if (!ch[rt][0]) {int cur = rt;rt = ch[rt][1];fa[rt] = 0;clear(cur);return;}if (!ch[rt][1]) {int cur = rt;rt = ch[rt][0];fa[rt] = 0;clear(cur);return;}int cur = rt;int x = pre();fa[ch[cur][1]] = x;ch[x][1] = ch[cur][1];clear(cur);maintain(rt);}}tree;
int n;
int main(){cin>>n;while(n--){int opt,x;cin>>opt>>x;if (opt == 1)tree.ins(x);else if (opt == 2)tree.del(x);else if (opt == 3)printf("%d\n", tree.rk(x));else if (opt == 4)printf("%d\n", tree.kth(x));else if (opt == 5)tree.ins(x), printf("%d\n", val[tree.pre()]), tree.del(x);elsetree.ins(x), printf("%d\n", val[tree.nex()]), tree.del(x);}return 0;
}