IOI2022 邮局 加强版 题解

[IOI2000] 邮局 加强版 题解

考虑动态规划，设 \(f_{i,j}\) 为经过了 \(i\) 个村庄，正在建第 \(j\)​ 个邮局的最优距离。

以及 \(w_{i,j}\) 表示区间 \([i,j]\)​ 内建一个邮局时的距离总和。

\(a\) 数组表示每个村庄的坐标编号。

朴素版状态转移方程：

\[f_{i,j}=\min(f_{i,j},f_{k,j-1}+w_{k+1,i}) \\ k\in [0,i) \]

根据初一上册数学，可知在区间 \([x,y]\) 中距离所有点的距离之和最短的点为：

若 \(2\mid x+y\)，则点位于 \(\lfloor\frac{x+y}{2}\rfloor\)。

反之位于 \(\lfloor\frac{x+y+1}{2}\rfloor\)。

注意到，上述状态转移方程，有三个未知数：\(i,j,k\)。可得时间复杂度为 \(O(PV^3)\)，肯定过不了。

考虑四边形不等式优化。

注意到，\(w\)​ 函数的状态转移方程为：

\[w_{l,r+1}=w_{l,r}+a_{r+1}-a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor} \]

需要简化，过程如下，虽复杂，但重要，可加以理解。

\[\begin{cases}w_{l,r+1}=w_{l+r}+a_{r+1}-a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor}\ 1式 \\ w_{l+1,r+1}=w_{l+1,r}+a_{r+1}-a_{\lfloor\frac{l+r+2}{2}\rfloor}\ 2式 \end{cases} \\ \]

2式 \(-\) 1式，得：

\[w_{l+1,r+1}-w_{l,r+1}=w_{l+1,r}+a_{r+1}-a_{\lfloor\frac{l+r+2}{2}\rfloor} -w_{l,r}-a_{r+1}+a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor}\\ w_{l+1,r+1}-w_{l,r+1}=w_{l+1,r}-w_{l,r}+a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor} -a_{\lfloor\frac{l+r+2}{2}\rfloor}\\ w_{l+1,r+1}-w_{l,r+1}-w_{l+1,r}+w_{l,r}=a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor} -a_{\lfloor\frac{l+r+2}{2}\rfloor} \]

\(\because\) 坐标单调上升

\[\therefore\ a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor}\ \le \ a_{\lfloor\frac{l+r+2}{2}\rfloor}\\ \therefore\ a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor}-a_{\lfloor\frac{l+r+2}{2}\rfloor}\le 0\\ w_{l+1,r+1}-w_{l,r+1}-w_{l+1,r}+w_{l,r}\le 0\\ w_{l,r}+w_{l+1,r+1}\le w_{l,r+1}+w_{l,r+1}\\ w_{l,r+1}+w_{l+1,r}\ge w_{l,r}+w_{l+1,r+1} \]

通过四边形不等式可知，若 \(a,b,c,d\) 满足 \(a\le b \le c \le d\)，且 \(w_{a,c}+w_{b,d}\le w_{a,d}+w_{b,d}\)，则称 \(w\) 为四边形不等式，可以优化时间复杂度。

\(\because l\le l+1 \le r \le r+1\)，则可以将 \(a,b,c,d\)​ 分别带入进去，即：

当 \(a=l,b=l+1,c=r,d=r+1\) 时：

\[w_{l,r+1}+w_{l+1,r}\ge w_{l,r}+w_{l+1,r+1}\\ w_{a,c}+w_{b,d}\ge w_{a,d}+w_{b,d} \]

再附上1式 \(-\) 2式的：

\[w_{l,r+1}-w_{l+1,r+1}=w_{l,r}-a_{r+1}-a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor} -w_{l+1,r}+a_{r+1}+a_{\lfloor\frac{l+r+2}{2}\rfloor}\\ w_{l,r+1}-w_{l+1,r+1}=w_{l,r}-a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor}-w_{l+1,r}+a_{\lfloor\frac{l+r+2}{2}\rfloor}\\ w_{l,r+1}-w_{l+1,r+1}-w_{l,r}+w_{l+1,r}=a_{\lfloor\frac{l+r+2}{2}\rfloor} -a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor} \]

\(\because\) 坐标单调上升

\[\therefore a_{\lfloor\frac{l+r+2}{2}\rfloor}\ge a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor}\\ a_{\lfloor\frac{l+r+2}{2}\rfloor}-a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor} \ge 0\\ w_{l,r+1}+w_{l+1,r}-w_{l+1,r+1}-w_{l,r}\ge 0 \\ w_{l,r+1}+w_{l+1,r} \ge w_{l+1,r+1}+w_{l,r} \]

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXV=3003,MAXP=305,inf=1e9+5;
int v,p;
int f[MAXV][MAXP];//经过了i个村庄，正在建j个邮局 
int a[MAXV],w[MAXV][MAXV],dp[MAXV][MAXP];
int minn,minid;
signed main(){scanf("%d%d",&v,&p);for(int i=1;i<=v;i++)scanf("%d",&a[i]);sort(a+1,a+v+1);memset(f,0x3f,sizeof(f));f[0][0]=0;for(int i=1;i<=v;i++)for(int j=i+1;j<=v;j++)w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]-a[i+j>>1];for(int j=1;j<=p;j++){dp[v+1][j]=v;for(int i=v;i>=1;i--){minn=inf;for(int k=dp[i][j-1];k<=dp[i+1][j];k++){if(f[k][j-1]+w[k+1][i]<minn){minn=f[k][j-1]+w[k+1][i];minid=k;}}f[i][j]=minn;dp[i][j]=minid;}}			printf("%d\n",f[v][p]);return 0;
}