ssy中学暑假集训向量学习笔记(完结)

今天模拟赛T4是个极其恶心的东西，用到了许多高中数学知识，md，先引入前置知识。

复数

定义虚数单位\(i\) 满足\(i^2=-1\),复数域\(C\),形如\(a+bi,(a,b\in \mathbb{R})\)的数叫做复数。

复数\(a+bi\)可以在坐标系中表示为\((a,b)\)的向量。

同时复数的加减法满足向量的加减法，模长与幅角的定义也与向量相同。

若复数\(z\)的模长为\(|z|\)，幅角为\(\theta\)，根据坐标系则有

\(z=|z|cos \theta +i|z|sin \theta\)

复数的乘法：

\[ (x_1+y_1 i)*(x_2+y_2 i)=x_1 x_2+x_2 y_1 i+x_1 y_2 i - y_1 y_2 =(x_1 x_2 - y_1 y_2)+(x_1 y_2+x_2 y_1)i \]

向量

定义

顾名思义，向量就是有方向的量，在平面直角坐标系上可以用\((a,b)\)表示，图如下：

图像上即为由\(A\)指向\(B\)的一条向量。

投影

投影不好解释，拿图吧。

\(AC\)在\(AB\)上的投影就是\(AD\)！！
刚学的时候把\(CD\)当成投影了，wssb。

向量的加减法是符合平行四边形不等式的，也就是\(\vec{m}(a,b) \pm \vec{n}(c,d) = \vec{p}(x_1 \pm x_2,y1 \pm y_2)\)

这个背一下吧，目前还没完全理解透彻。

接下来介绍一下如何求投影长度，先给一个图：

我们要求\(\vec{a'}\)，不难发现我们可以通过求出$ \cos(\theta)$从而求出 \(\vec{a'}\)的长度。
那怎么求$ \cos(\theta)$呢？我们引入一个点积的概念，就是这个：

\[\begin{aligned}\vec{a} \cdot \vec{b} &= x_1x_2+y_1y_2 \\&= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\end{aligned} \]

至于为什么，高中就会学。
那么就可以得出一个大公式：

\[\begin{aligned}\cos(\theta) &= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \\ \&= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}}\end{aligned} \]

这样就可以求出\(|\vec{a'}|\)的长度了，他就等于:

\[\begin{aligned}|\vec{a'}| &= |\vec{a}| \cdot \cos(\theta) \\ &= \sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}} \\&= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}} \end{aligned} \]

芜湖！！！吃饭！！！
既然讲了这么多关于向量的知识，那我们来做一道例题吧！刚好今天模拟赛就考了这个东西！

About T4:

直接上来就订正这题啦，因为觉得我刚好不会这个东西，就顺便学习一下！

首先我们推出一个性质奥,对于下面这个图:

对于\(\vec{B}\)和\(\vec{C}\)而言，他们的投影是相等的对吧，所以这两个向量是"相等的"(这个"相等"的意义很多，可能是长度，可能是.....)。那如果\(\vec{B}\)与\(\vec{C}\)不变，把直线\(AD\)换一下位置，那么\(\vec{B}\)的投影和\(\vec{c}\)的投影会出现什么样的关系呢？如下图：

显然，这次\(\vec{B}\)的投影大于\(\vec{C}\)的投影，接下来无论我们如何将直线\(AD\)逆时针旋转，只要他不超过垂线段那么\(\vec{B}\)的投影始终大于\(\vec{C}\)的投影，从垂线段顺时针旋转则反之，那么，只要他不与这条垂线段重合，他的大小关系始终固定。

那么如何转换到这个题里呢？我们先构造一个由所有边权组成的集合图，然后对于每两个直线，我们在他们的区间中随便选一个边，拿这个边对其他所有的边做一个投影，然后按他们投影长度从大到小排序，求最大生成树，也就是做一次Kruskal，然后取一个 \(\max\)，求出最大的边集。

安利一下徐梓博(AK CSP-S的爷)のblog!!!
妈的感觉上了一天数学课.....