最大传输功率数学推导

news/2025/1/16 10:03:56/文章来源:https://www.cnblogs.com/QSHL/p/18340098

  最大传输功率,不仅适用于低频,也适用于高频。在个人的认知里,也同样可以用来解释高速信号的匹配原理,而不仅仅只是从阻抗不匹配造成的反射来解释。

    

电路分析图

 

1. 由以上电路可知,负载功率表示如下

2. 由复功率、能量守恒可知

 

3. 复阻抗的虚部,属于无功功率,发送等于接收,所以可以只计算电阻下的有功功率,①式变为如下

 4. ②式进一步变化如下

 

 

5. 当源端虚部与负载端虚部相等时,负载端有功功率将最大,即

 6. 关键的地方来了,那么RS与RL呈现如何关系时,RL的功率最大?既然要求RL为何时达到最大功率,一个可行的办法就是对RL微分,也就是对PLMAX求导,当其倒数等于0时,要么处于最大值,要么是最小值,如何确定是最大还是最小?我们先对其求完导后,再来判断。

7. 求导过程

 

 8. 现在来判断,导数为0时,是最大值还是最小值,如下图,当为最大值时,其导数(斜率)为左正右负,最小值时正好相反。因为只有一个地方为0,这里为了好计算,RL取0.5RS、1.5RS进行验证。

 

 由以上推导可知,RL=0.5RS、RL=1.5RS时,在导数为0的两边为左正右负,所以此为最大值,既RS=RL时,Pmax最大。同时结合第5点的jXS=-jXL,解释了高频下需要进行共轭匹配,才能达到功率最大。

 

 参考一

参考二

参考三

参考四

参考五

参考六

 

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