数据结构 顺序与链式二叉树的原理与实现(万字)

news/2025/3/15 0:36:26/文章来源:https://www.cnblogs.com/DSCL-ing/p/18344162

目录
  • 一、树概念及结构
    • 树的概念
    • 树的相关概念
    • 树的表示
  • 二、二叉树概念及结构
    • 概念
    • 特殊的二叉树
    • 二叉树的性质
    • 二叉树的存储结构
  • 三、二叉树的顺序结构及实现
    • 二叉树的顺序结构
    • 堆的概念及结构
    • 堆的实现
      • 堆向下调整算法
      • 堆的创建
      • 建堆时间复杂度
      • 堆的插入
      • 堆的删除
      • 堆的代码实现
        • Heap.h
        • Heap.c
    • 堆的应用
      • 堆排序
      • 堆排序代码实现
        • HeapSort.c
        • 时间复杂度分析
      • TOP-K问题
        • 代码示例
          • TopK.c
  • 四、二叉树链式结构的代码实现
    • 二叉树的遍历
    • 层序遍历
    • 代码实现
      • Tree.h
      • 构建二叉树与基本功能
      • tree.c
        • 层序遍历
        • 节点个数
        • 判断是否完全二叉树
        • 判断是否是子树
        • 判断两棵树是否相同相同
        • 两个树是否对称
        • 单值二叉树
      • 用到的队列
        • Quque.h
        • Queue.c

一、树概念及结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

  • 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

  • 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
    <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

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树的相关概念

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  • 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
  • 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
  • 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
  • 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
  • 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
  • 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
  • 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
  • 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
  • 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
  • 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
  • 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
  • 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
  • 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点 struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点 DataType _data;               // 结点中的数据域
};

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树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

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二、二叉树概念及结构

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

  1. 或者为空
  2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

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从上图可以看出：

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

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特殊的二叉树

  1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
    说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
  2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
    的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
    应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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二叉树的性质

  1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 个结点.

  2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 .

  3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 ＝ ＋1

  4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= . (ps： 是log以2
    为底，n+1为对数)

  5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
    于序号为i的结点有：

    1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

    2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

    3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

  1. 顺序存储
    顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
    间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
    序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

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链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前简单二叉树一般都是二叉链，红黑树等会用到三叉链。

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typedef int BTDataType; 
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft;  // 指向当前节点左孩子 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子 BTDataType _data; // 当前节点值域
}// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲 struct BinTreeNode* _pLeft;   // 指向当前节点左孩子 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域

三、二叉树的顺序结构及实现

二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结
构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

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堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储
在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，
2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
  • 堆总是一棵完全二叉树。

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堆的实现

堆向下调整算法

给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整
成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

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堆的创建

给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算
法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的
子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

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建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的
就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

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因此：建堆的时间复杂度为O(N)。

堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

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堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调
整算法。

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堆的代码实现

Heap.h
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#pragma once#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<string.h>typedef int HeapDataType;typedef struct Heap
{HeapDataType *a;int size;int capacity;//顺序表思想
}Heap;void HeapPrint(Heap *ps);void HeapInit(Heap *ps);void HeapDestroy(Heap *ps);void HeapPush(Heap *ps,HeapDataType x);void HeapPop(Heap*ps);int HeapSize(Heap *ps);bool HeapEmpty(Heap *ps);//接受一个堆，数组， 数组大小。建一个堆
void HeapCreate(Heap*ps, HeapDataType *a, int size);void HeapSort(HeapDataType *a, int size);void AdjustDown(HeapDataType *a, int size, int parent);void AdjustUp(HeapDataType *a, int child);void Swap(HeapDataType *p1, HeapDataType *p2);
Heap.c
#include"Heap.h"void Swap(HeapDataType *p1, HeapDataType *p2)
{HeapDataType tmp = 0;tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//向上调整算法：从0插入建堆 以及 在堆的前提下插入 //不适合直接建堆（把数组从1开始向下建堆）
void AdjustUp(HeapDataType *a,int child)
{assert(a);//小堆改成a[child] < a[parent]int parent = (child - 1) / 2;while (parent >= 0 && child > 0 && a[child] > a[parent]) //把边界和条件全丢进去{														  //这个没问题，没有重复出现两个相同的if。可以把条件一起放在while里Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}
}//向下调整算法：前提：左右子树是堆 //适合建堆：递归从最小父亲开始（虽然可以从最小孩子）
void AdjustDown(HeapDataType *a,int size, int parent) //小堆
{////比较两个孩子中最大/小的进行交换//int child = parent * 2 + 1;//if (child < size &&  parent < size && a[child] < a[child + 1]) //// ------------这种逻辑是不对的，一个在while外面，一个在while里面，重复，当size == child的时候卡掉一个//{																				   //如果出现，务必消除，把while和if条件拆分出来//	child = child + 1;//}////调整到叶子结束	 		                                   //&&先判断左边//while (child < size &&  parent < size && a[parent] < a[child]) //child 可能越界，先保证child<size	//{//	Swap(&a[parent], &a[child]);//	parent = child;//	child = parent * 2 + 1;//	if (child < size &&  parent < size && a[child] < a[child + 1])//-----------------------------------------------------------------------//	{//		child = child + 1;//	}//} int child = parent * 2 + 1;while (child < size){if (child + 1 < size &&a[child] > a[child + 1]){child++;}if (a[child] < a[parent])//小堆大于最小孩子就交换，{						 //大堆小于最大孩子就交换Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}//-------------------------------------------------------------------------void HeapPrint(Heap *ps)
{assert(ps);for (int i = 0; i < ps->size; i++){printf("%d ", ps->a[i]);}
}void HeapInit(Heap *ps)
{assert(ps);ps->a = NULL;ps->size = 0;ps->capacity = 0;
}//接受一个堆，一个数组，一个数组大小
void HeapCreate(Heap *ps, HeapDataType *a, int size)
{assert(ps);//开辟堆中数组空间ps->a = (HeapDataType *)malloc(size * sizeof(HeapDataType));if (ps->a == NULL){perror("malloc fail");exit(1);}memcpy(ps->a, a, size *sizeof(HeapDataType));//拷贝数组过去ps->size = size;ps->capacity = 2 * size;//建堆//从最小父亲开始向下调整//循环，直到父亲/孩子不为0int parent = (size - 1 - 1) / 2;while (parent >= 0){AdjustDown(ps->a, ps->size, parent);parent--;}
}void HeapDestroy(Heap *ps)
{assert(ps);free(ps->a);ps->capacity = ps->size = 0;
}void HeapPush(Heap *ps,HeapDataType x)
{assert(ps);if (ps->size == ps->capacity)//开辟/扩容{int newCapacity = ps->capacity == 0 ? 4 : 2 * ps->capacity;HeapDataType *tmp = (HeapDataType *)realloc(ps->a, newCapacity * sizeof(HeapDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail!");exit(-1);}ps->a = tmp;ps->capacity = newCapacity;}ps->a[ps->size] = x;ps->size++;AdjustUp(ps->a, ps->size - 1);
}void HeapPop(Heap *ps)
{assert(ps);assert(ps->size > 0); // 保证堆中存在数据Swap(&ps->a[ps->size-1], &ps->a[0]);ps->size--;AdjustDown(ps->a,ps->size, 0);
}//选数相当快，只需要logN次
HeapDataType HeapTop(Heap *ps)
{assert(ps);assert(ps->size > 0);return ps->a[0];
}int HeapSize(Heap *ps)
{assert(ps);return ps->size;
}bool HeapEmpty(Heap *ps)
{assert(ps);return ps->size == 0;
}

堆的应用

堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

  1. 建堆
    升序：建大堆
    降序：建小堆
  2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

堆排序代码实现

HeapSort.c
#include"Heap.h"void HeapSort(HeapDataType *a, int size)
{assert(a);// ---- 向下调整算法建堆  ----//时间复杂度O(n)int parent = (size - 1 - 1) / 2;while (parent >= 0){AdjustDown(a, size, parent);parent--;}// ---- 选数 ----//时间复杂度O(n*logN),好像是说n个数都要高度次调整//int end = size - 1;//while (size>0){Swap(&a[0], &a[size-1]);//选数,选完就少一个size--;AdjustDown(a, size, 0);//}}
时间复杂度分析
/*
向下调整算法建堆时间复杂度计算
假设满二叉树树高度h
各层的节点数为
第一层 2 ^ 0               ------向下调整h-1次
第二层 2 ^ 1               ------向下调整h-2次
第三层 2 ^ 2               ------向下调整h-3次
...    ... 
第h - 1层  2 ^ (h - 2)     ------向下调整1次
第h层  2 ^ (h - 1)向下调整算法建堆是从最小父亲开始，即第h-1层的最后一个节点 parent = (size-1-1)/2
最坏情况下所有节点需要执行的次数为
f(h) = 2^(h-2)*1 + 2^(h-3)*2 + ... + 2^1*(h-2) + 2^0*(h-1)    错位相减
2*f(h) = 2^(h-1)*1 + 2^(h-2)*2 + ... + 2^2*(h-2) + 2^1*(h-1)
作差、合并得f(h) = 2^h -h-1
其中 满二叉树节点数N = 2^h-1，即h = log(N+1) 代入得
f(N) = N - 1 - log(N+1)  ， 舍去logN(数量级)
所以O(n) = n-------------------------------------------------------------------------------
而向上调整算法建堆时间复杂度比较吃亏，见图
假设满二叉树树高度h
各层的节点数为
第一层 2 ^ 0               
第二层 2 ^ 1               ------向上调整1次
第三层 2 ^ 2               ------向上调整2次
...    ...
第h - 1层  2 ^ (h - 2)     ------向上调整h-2次
第h层  2 ^ (h - 1)         ------向上调整h-1次
计算方法还是错位相减，由图显然可发现向上调整算法执行次数数量级明显提高
不再计算
O(n) = n*logN总结：向下调整算法跳过最下层最多节点层，且从下层开始节点多执行次数少。快向上调整算法从上开始从节点少往节点多执行次数成倍增加，前面的加起来都没最后一层多，慢
*///建堆---选数，放到最后，排除掉，重新选数//合计时间复杂度    O(n + n*logN) = O(n*logN)

TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能
数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

  1. 用数据集合中前K个元素来建堆
    前k个最大的元素，则建小堆
    前k个最小的元素，则建大堆
  2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

代码示例
TopK.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"
#include<time.h>//取前K个最大数
#define K 10void TopK()
{int n = 10000;//int n = 10000;//数据量int randMax = 10000;//int randMax = 10000;int minHeap[K] ;//int K = 100;memset(minHeap, 0, sizeof(minHeap));//初始化数组,且用sizeof(arr)---不用取地址srand((size_t)time(0));//不用加size_t也行，NULL实际上会被time强制转换成(void)0//TopK问题思路s//建一个大小为K的堆FILE *fin = fopen("data.txt", "w");if (fin == NULL){perror("fopen fail");return;}//随机写入数据，rand ， 使用fprintf("fout","%d ",)int randK = K;//int randK = K;for (int i = 0; i < n ;i++){int val = rand() % randMax;  //最大值不超过randMaxif (val % 3 == 0 && randK-- > 0) {val = randMax + randK;   //插入自定义最大值}fprintf(fin, "%d ", val);}//如果插入的最大值不够K个，就在末尾补上  --------出现的概率很小，忽略while (randK-- > 0){fprintf(fin, "%d ", randMax+randK);//注意分隔符，分隔给人看的，使用空格或\n方便用fscanf默认的分隔符识别}fprintf(fin, "%d ", 99999); //--- 验证能否插入且插入到最后fclose(fin);//for (int i = 0 ; i < K; i++)//{//	AdjustDown(minHeap, K, 0);//}FILE *fout = fopen("data.txt", "r");//重置文件指针if (fout == NULL){perror("fopen fail");return;}int tmp;while (fscanf(fout, "%d", &tmp) != EOF) //注意，由于设置了scanf的默认分隔符空格或\n，随意不用在格式%d后带分隔符识别{//从文件中提取数据//提一个就和堆顶比较一次//随着文件指针走下去会比较完文件所有数据//ASCII文件使用fscanf("流","格式","dest");if (tmp >minHeap[0]){minHeap[0] = tmp;}AdjustDown(minHeap, K, 0);//换一次调堆一次}fclose(fout);for (int i = 0; i < K; i++)//打印数组{printf("%d ", minHeap[i]);}
}

四、二叉树链式结构的代码实现

二叉树的遍历

前序、中序以及后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉
树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历
是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

  1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
  2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
  3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为
根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在
层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层
上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

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代码实现

Tree.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#pragma once#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>//树的遍历//根据不同的递归遍历方法  访问  每个树（结构体）的data和左右孩子  进行操作。//每次递归到一颗新树（每个节点都是一颗树），都要先判断是否空树 ---- 以防止野指针错误//---- 创建二叉树 ----typedef int BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode *left;  //left sub treestruct BinaryTreeNode *right; //right sub tree
}BTNode;/*
node->data = x;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
*/
BTNode* BuyBTNode(BTDataType x);//构建值为x的节点/*
printf("%d", root->data);
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
*/
void PrevOrder(BTNode *root);//先根遍历/*
PrevOrder(root->left);s
printf("%d", root->data);
PrevOrder(root->right);
*/
void InOrder(BTNode *root); //中根遍历/*
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
printf("%d", root->data);
*/
void PostOrder(BTNode *root); //后根遍历void LevelOrder(BTNode *root); //层序遍历/*
return BTSize(root->left) + BTSize(root->right) + 1;
*/
int BTSize(BTNode* root); //求二叉树节点个数/**/
int BTLeafSize(BTNode* root); //求二叉树叶子节点个数int BTHeight(BTNode *root);//求二叉树高度int BTLevelKSize(BTNode *root, int k);//计算二叉树第k层节点BTNode *BTFind(BTNode* root, BTDataType x); //二叉树查找某节点地址void BTDestroy(BTNode*root); //二叉树销毁BTNode * rebuildBinaryTree(BTDataType* str, int *pi);  //构建一颗二叉树, pi为数组的下标地址bool isBTComplete(BTNode *root);

构建二叉树与基本功能

tree.c


#include"Tree.h"/*创建一个值为x的二叉树节点*/
BTNode* BuyBTNode(BTDataType x)    //创建值为x的节点
{BTNode *node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));//使用指针要指向实际空间if (!node){perror("malloc fail!");exit(1);}node->data = x;node->left = NULL;node->right = NULL;return node;
}/*前序遍历*/
void PrevOrder(BTNode *root) //previous  order顺序   NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称
{if (!root ){printf("NULL ");return;}printf("%d ", root->data);PrevOrder(root->left);PrevOrder(root->right);}/*中序遍历*/
void InOrder(BTNode *root)  // ..中
{if (!root ){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}/*后续遍历*/
void PostOrder(BTNode *root) // post- 前缀  ..之后   ..后面  ..后
{if (!root ){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);}/*求二叉树所有节点个数*/
int BTSize(BTNode* root)
{
/*if (root == NULL){return 0;}//思想：左子树 和 右子树 和 自己 的节点数 的和return BTSize(root->left) + BTSize(root->right) + 1;
*///两个重复语法可以合并return !root ? 0 : BTSize(root->left) + BTSize(root->right) + 1;}/*求二叉树叶子节点个数*/
int BTLeafSize(BTNode* root)
{if (!root){return  0;}
//思想：左右节点为空即为叶子if(!root->left && !root->right){return 1;}return BTLeafSize(root->left) + BTLeafSize(root->right);}/*求二叉树高度*/
int BTHeight(BTNode *root)
{if (!root){return 0;}//思路：比较左右子树高度，不要小的  只有关系运算符能够实现：比较两边选一边舍弃另一边//方法一：//return BTHeight(root->left) > BTHeight(root->right) //	? BTHeight(root->left) + 1 //	: BTHeight(root->right) + 1;
/*点评；问题很大，递归之后栈帧会销毁，数据不再保存，每次递归都会计算两次子树高度，每个子树高度计算都是指数级*///优化：方法二：int leftHeight = BTHeight(root->left);int rightHeight = BTHeight(root->right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
/*	点评:通过记下当前栈帧数据，避免重复计算*/
}/*求二叉树第k层节点个数*/
int BTLevelKSize(BTNode *root , int k)
{/*遇到第k层或空怎么做*/if (!root)  {return 0;}if (k == 1)   //最后一层，第k层{return 1;}/*没到第k层怎么做*/return BTLevelKSize(root->left,k-1) + BTLevelKSize(root->right,k-1) ;  //不是第k层，继续深入，找到第k层//为什么是k-1，因为传的是k
}/*二叉树查找*/
BTNode *BTFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (!root ){return NULL;}if (root->data == x){return root;}BTNode*left = BTFind(root->left ,x);if (left){return left;}BTNode*right = BTFind(root->right,x);if (right){return right;}//可以写成下面这种形式，看起来好看
/*if (right)return right;)*/return NULL; //root ！=NULL ， 值不为x ，左右子树找不到，返回空
}/*构建一个二叉树*/
BTNode *rebuildBinaryTree(BTDataType* str, int *pi)  // pi为数组的下标地址
{if (str[*pi] == '#'){(*pi)++;return  NULL;}BTNode*root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));root->data = str[(*pi)++];root->left = rebuildBinaryTree(str, pi);root->right = rebuildBinaryTree(str, pi);return root;}/*二叉树销毁*/
void BTDestroy(BTNode*root) /*一级指针传值，调用后需要在函数外置空root*/
{if (!root){return;}BTDestroy(root->left);BTDestroy(root->right);free(root);root->left = root->right = NULL;
}/*
遍历命名N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）根据访问结点操作发生位置命名：
① NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称（先序遍历））
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
② LNR：中序遍历(Inorder Traversal)
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
③ LRN：后序遍历(Postorder Traversal)
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。前三种次序与后三种次序对称*/
层序遍历
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Tree.h"
#include"Queue.h"void LevelOrder(BTNode *root)
{//通过队列实现Queue queue;//不带指针==给空间 ， 带指针==只给指针空间，成员无空间QueueInit(&queue);if (root)QueuePush(&queue, root);//通过队列缓存子树滚动数据实现遍历while (!QueueEmpty(&queue)){BTNode* front = QueueFront(&queue);//把数据从队列中取出printf("%d ", front->data);QueuePop(&queue);if (front->left){QueuePush(&queue, front->left);}if (front->right){QueuePush(&queue, front->right);}}QueueDestroy(&queue);}void LevelOrder2(BTNode *root)
{if (!root){return;}Queue queue;QueueInit(&queue);int levelSize = 0;QueuePush(&queue, root);levelSize = 1;while (!QueueEmpty(&queue)){while (levelSize--){BTNode* front = QueueFront(&queue);printf("%d ", front->data);QueuePop(&queue);if (front->left)QueuePush(&queue, front->left);if (front->right)QueuePush(&queue, front->right);}printf("\n");levelSize = QueueSize(&queue);}QueueDestroy(&queue);
}
节点个数
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Tree.h"int TreeSize(struct BinaryTreeNode *root)
{return !root ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}void _preorderTraversal(struct BinaryTreeNode *root, int *str, int* pi)
{if (!root){return ;}str[(*pi)++] = root->data;_preorderTraversal(root->left, str, pi);_preorderTraversal(root->right, str, pi);
}int* preorderTraversal(struct BinaryTreeNode* root, int* returnSize){*returnSize = TreeSize(root);int *a = (int*)malloc(*returnSize * sizeof(int));int i = 0;_preorderTraversal(root, a, &i);return a;
}
判断是否完全二叉树
#include"Tree.h"
#include"Queue.h"bool isBTComplete(BTNode *root)
{if (!root){return false;}Queue queue;QueueInit(&queue);QueuePush(&queue, root);while (!QueueEmpty(&queue)){BTNode* front = QueueFront(&queue);QueuePop(&queue);if (!front) //一定存在下一层节点，所以直接跳出去，不用插入所有节点{QueuePop(&queue);break;}QueuePush(&queue, front->left);QueuePush(&queue, front->right);}while (!QueueEmpty(&queue)){if (QueueFront(&queue)){QueueDestroy(&queue);return false;}QueuePop(&queue);}QueueDestroy(&queue);return true;
}
判断是否是子树
#include<stdio.h>
struct TreeNode
{int val;struct TreeNode* left;  //left sub treestruct TreeNode* right; //right sub tree
};bool isSubtree(struct TreeNode* root, struct TreeNode* subRoot){if (subRoot == NULL){return true;}if (root == NULL){return false;}if (root->val == subRoot->val) //如果相等，且是相同子树，返回真{if (isSameTree(root, subRoot)){return true;}}return isSubtree(root->left, subRoot)|| isSubtree(root->right, subRoot);
}
判断两棵树是否相同相同
#include<stdio.h>
struct TreeNode
{int val;struct TreeNode* left;  //left sub treestruct TreeNode* right; //right sub tree
};bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q){if (p == NULL && q == NULL){return 1;}else if (p == NULL&&p != q || q == NULL && p != q){ /*注意逻辑运算先后顺序，整个if-else是判断有1个NULL以上为前提，运算符要求先有空*///可以优化成 p == NULL && q == NULL,因为已有前提;return 0;}if (p->val != q->val){return 0;}elsereturn isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right);
}
两个树是否对称
#include "Tree.h"bool _isSymmetric(BTNode *root1, BTNode *root2)
{if (!root1 &&!root2){return true;}if (!root1 || !root2){return false;}if (root1->data != root2->data){return false;}return _isSymmetric(root1->left, root2->right) && _isSymmetric(root1->right, root2->left);
}bool isSymmetric(BTNode *root)
{return !root || _isSymmetric(root->left, root->right);}
单值二叉树

如果二叉树每个节点都具有相同的值，那么该二叉树就是单值二叉树

#include<stdio.h>
struct TreeNode
{int val;struct TreeNode* left;  //left sub treestruct TreeNode* right; //right sub tree
};bool isUnivalTree(struct TreeNode* root){if (root == NULL){return true;}if (root->left && root->left->val != root->val){return false;}if (root->right && root->right->val != root->val){return false;}return isUnivalTree(root->left) && isUnivalTree(root->right);
}

用到的队列

Quque.h
#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<assert.h>
//#include"tree.h"struct BinaryTreeNode; //类型声明   ： 类型是可以声明的，只要变量名就可以---原理，搜索整个源码typedef  struct BinaryTreeNode* QDataType;typedef struct QueueNode
{struct QueueNode *next;QDataType data;
}QNode;//控制变量结构体
//只有一个值，就不用定义结构体，有多个就定义结构题。typedef struct Queue
{struct QueueNode *head; //队头，出队，头删struct QueueNode *tail; //队尾，入队，尾插
}Queue;
//是指针变量就传二级指针，是普通变量就传一级void QueueInit(Queue *pq);
void QueueDestroy(Queue *pq);void QueuePush(Queue *pq, QDataType x);
void QueuePop(Queue *pq);QDataType QueueFront(Queue *pq);
QDataType QueueBack(Queue *pq);int QueueSize(Queue *pq);
bool QueueEmpty(Queue *pq);
Queue.c
#include "Queue.h"void QueueInit(Queue *pq)
{assert(pq);pq->head = NULL;pq->tail = NULL;}void QueueDestroy(Queue* pq)
{assert(pq);QNode * next = NULL;QNode *cur = pq->head;while (cur){next = cur->next;free(cur);cur = next;}pq->head=pq->tail = NULL;
}void QueuePush(Queue *pq,QDataType x)
{assert(pq);QNode *newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));if (newnode == NULL){perror("malloc fail ");exit(-1);}//先初始化再使用newnode->data = x;newnode->next = NULL;//单链表队列-尾插头删。if (pq->tail == NULL)//头尾都行，判断一个就可以了{pq->head = pq->tail = newnode;}else                             //尾插{pq->tail->next = newnode; //队尾指向的节点链接上新节点pq->tail = newnode;      //队尾指向新节点}
}void QueuePop(Queue *pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));if (pq->head->next == NULL)//只有一个节点{free(pq->head);//先释放pq->tail = pq->head = NULL;//后置空}else{QNode *next = pq->head->next;//记住下一个free(pq->head);//释放头节点pq->head = next;//下个节点成为新节点}
}QDataType QueueFront(Queue *pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));return pq->head->data;
}QDataType QueueBack(Queue *pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));return pq->tail->data;
}int QueueSize(Queue *pq)
{assert(pq);QNode *cur = pq->head;int size = 0;while (cur){size++;cur = cur->next;}return size;
}bool QueueEmpty(Queue *pq)
{assert(pq);//return QueueSize(pq) == 0;return pq->head == NULL ;//只要有一个就可以了//head为空tail也为空
}

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