目录
- 二叉搜索树
- 基本概念
- 常用结论
- 用途
- 二叉搜索树的性能分析
- 二叉搜索树的操作
- 查找
- 插入
- 删除
- 代码实现
- BSTree.hpp
- test.cc
二叉搜索树
基本概念
二叉搜索树(BST,Binary Search Tree)
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
二叉搜索树/二叉查找树也称二叉排序树,因为二叉排序树的中序遍历结果是升序
常用结论
二叉搜索树的左子树一定小于根,右子树一定大于根,结合定义递归子树可以得到
-
左子树的最右节点是左子树的最大节点,右子树的最右节点是右子树的最大节点.
-
左子树的最左节点是左子树的最小节点,右子树的最左节点是右子树的最小节点.
-
二叉搜索树的最小节点是左子树的最左节点,最大节点是右子树的最右节点
用途
实际情况很少直接使用搜索二叉树,多是根据搜索二叉树的高效搜索特性,衍生出更为实用的高阶数据结构,例如平衡二叉搜索树(AVL树,红黑树)等...
- K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。(在不在的问题)
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
还有如:门禁系统,车库系统等...
- KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方
式在现实生活中非常常见： (通过一个值查找另一个值)
比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英
文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出
现次数就是<word, count>就构成一种键值对。
还有如:通讯录
二叉搜索树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为：$log_2 N$ ($log_2 N$)
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为：$\frac{N}{2}$ ($\frac{N}{2}$)
二叉搜索树的操作
查找
- 从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
- 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
插入
- 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针(第一个节点就是root)
- 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点
特别地
-
同样一组数据,插入顺序不同,得到的二叉树也不同
-
当插入的值已存在时,插入失败(不考虑multi)
删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回.
否则,根据树的结构定义,可以得到3种情况
- 要删除的结点无孩子结点
- 要删除的结点只有左孩子或右孩子时
- 要删除的结点有左、右孩子结点
看起来有待删除节点有4中情况，实际情况:
-
要删除的结点无孩子结点时,直接删除
-
要删除的结点只有左孩子或右孩子时,将左孩子或右孩子给父亲
-
要删除的结点可能是父亲的左孩子或者是右孩子,有2*2种情况(要删除的结点是父亲的左孩子或右孩子)
-
左右孩子都是空时,也满足情况,因此可以合并无孩子结点情况
-
在1的前提下,恰好是根节点,也是一种情况(让另外一个孩子做根即可)
-
-
要删除的结点有左右孩子(子树)时,需要找一个既要比左子树大也要比右子树小的节点来补上.
根据递归定义得知,只有左孩子的最右结点和右孩子的最左结点符合条件,二选一即可
当选择使用右孩子的最左结点时,有以下三种情况(与是不是根无关)
-
要删除的结点的右子树的最小结点恰好是要删除结点的右孩子.
-
要删除的结点的右子树的最小结点没有右孩子.
-
要删除的结点的右子树的最小结点有右孩子
(上图举例分析)
-
代码实现
BSTree.hpp
template<class K>
struct BSTreeNode {BSTreeNode<K>* _left;BSTreeNode<K>* _right;K _key;BSTreeNode(K key) :_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr){}
};template<class K>
class BSTree {
public:using Node = BSTreeNode<K>;BSTree() = default;BSTree(const BSTree& bst) {_root = Copy(bst._root);}BSTree<K>& operator=(BSTree bst) { //拷贝复用swap(_root,bst.root);return *this;}~BSTree() {Destroy(_root);}public:bool Insert(const K& key) {if (_root == nullptr) {_root = new Node(key);_root->_key = key;return true;}BSTreeNode<K>* cur = _root;BSTreeNode<K>* parent = _root;while (cur) {if (key < cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_right;}else {return false;}}//走出循环,说明树中不存在该节点, 可以插入cur = new BSTreeNode<K>(key);if (key < parent->_key) {parent->_left = cur;}else {parent->_right = cur;}return true;}bool Find(const K& key) {if (_root == nullptr) return false;Node* cur = _root;while (cur) {if (key < cur->_key) {cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key) {cur = cur->_right;}else {return true;}}// 从循环出来,说明没找着return false;}bool Erase(const K& key) {if (_root == nullptr) return false;Node* cur = _root;Node* parent = _root;while (cur) {if (key < cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_right;}else {//没有左孩子if (cur->_left == nullptr) {if (cur == _root) {_root = cur->_right;}else if (parent->_left == cur) {parent->_left = cur->_right;}else {parent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}//没有右孩子else if (cur->_right == nullptr) {if (cur == _root) {_root = cur->_left;}if (parent->_left == cur) {parent->_left = cur->_left;}else {parent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}//有左右孩子else {//找右孩子(子树)的最小结点/最左结点Node* rightMin = cur->_right; //明确不为空Node* rightMinParent = cur;while (rightMin->_left) {rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}// 删除右子树最小结点有3种情况(与是不是根无关)//1. 要删除的结点右子树最小结点恰好是自己的右孩子.//2. 要删除的结点的右孩子的左子树的最左结点没有右孩子.//3. 要删除的结点的右孩子的左子树的最左结点有右孩子.//结论解析: 复用删除单结点代码,进行删除rightMin即可K tmp = rightMin->_key;Erase(rightMin->_key); //只能从根开始遍历,性能损失,但是二分查找很快,损失不大(理想情况,BST只学习用)cur->_key = tmp;return true;} //有左右孩子的情况 } //找到了_继续处理的过程}//循环找的过程//循环结束,说明没找到return false;}//Erase [end]void InOrder() {_InOrder(_root);std::cout << std::endl;}bool InsertR(const K& key) {_InsertR(_root, key);}bool EraseR(const K& key) {return _EraseR(_root,key);}private://此处返回值不能使用指针引用,虽然一定情况下可以使用(不推荐),至少目前不能引用空值.Node* Copy(const Node* root) {if (root == nullptr) {return nullptr;}Node* newRoot = new Node(root->_key);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}//用不用引用无所谓,好习惯做到底//(析构子节点时,父节点两个成员会成为垂悬指针,但是接下来父亲也要析构了,指针变量也随之回收)void Destroy(Node*&root) {if (root == nullptr) {return ;}Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);std::cout<<root->_key<<" ";delete root; //释放加自动置空}//练习递归+引用 -- 代码更加简洁bool _EraseR(Node*& root, const K&key) {//走到空,说明没找到,返回falseif (root == nullptr) {return false;}//大于走右边,小于走左边if (key > root->_key) {return _EraseR(root->_right,key);}else if(key<root->_key) {return _EraseR(root->_left,key);}//找到了else {if (root->_left == nullptr) {Node* del = root;root = root->_right;delete del;return true;}else if (root->_right == nullptr) {Node* del = root;root = root->_left;delete del;return true;}//有左右孩子else {Node* leftMax = root->_left;//找左子树最大结点while (leftMax->_right) {leftMax = leftMax->_right;}std::swap(root->_key, leftMax->_key);return _EraseR(root->_left, key); //直接从左孩子开始递归删除.}}}//练习递归+引用指针的玩法,仅练习bool _InsertR(Node*& root, const K& key) { //引用的妙用,跨栈帧直接访问实参if (root == nullptr) {root == new Node(key);return true;}if (key == root->_key) return false;return (key > root->_key) ? _InsertR(root->_right, key) : _InsertR(root->_left, key);}void _InOrder(Node* root) {if (root == nullptr) return;_InOrder(root->_left);std::cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}private:BSTreeNode<K>* _root = nullptr;
};test.cc
void test() {int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };BSTree<int> bst;for (int i : a) {bst.Insert(i);}bst.InOrder();////Find//std::cout << std::boolalpha << bst.Find(8) << std::endl; //true//std::cout << std::boolalpha << bst.Find(9) << std::endl; //falseBSTree<int> cp(bst);cp.InOrder();//测试两孩子的三种情况即可bst.Erase(8); //1. 要删除的结点的右子树的最小结点恰好是要删除结点的右孩子.bst.Erase(10); //2. 要删除的结点的右子树的最小结点没有右孩子bst.Insert(5); //构造有右孩子的最小结点bst.Erase(3); //3. 要删除的结点的右子树的最小结点有右孩子bst.Erase(4);bst.Erase(7);bst.Erase(1);bst.Erase(14);bst.Erase(13);bst.Erase(6);bst.Erase(5);bst.InOrder();//禁止显式调用析构函数 --> 双重释放//bst.~BSTree();//cp.~BSTree();}int main() {test();
}
