排列组合问题-编程知识

排列组合问题

news/2024/9/18 8:54:12/文章来源:https://www.cnblogs.com/ACyming/p/18378353

排列公式

从 \(n\) 个数中选出 \(m\) 个数并且排序。

公式推导：

\[ A^2_3 = 3 \times 2 = 6\\3_6 = 6 \times 5 \times 4 = 120\\ A^2_6 = 6 \times 5 = 30\\ \therefore A^m_n = n(n-1)(n-2)\dots (n-m+1)\\ 又\because n!=n\times (n-1)\times (n-2) \dots \times 2\times 1 \\综上所述：A^m_n = \frac{n!}{(n-m)!} \]

组合公式

从 \(n\) 个数中选出 \(m\) 个数。

公式推导：

\[ C^m_n=\frac{A^m_n}{A^m_m}=\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-m+1)}{m!}\\c^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}\\特殊的：C^0_1 = 1 \]

例题

例一

一位教练的足球队共有 \(17\) 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是 \(11\) 人。

问：
（1）这位教练从这 \(17\) 名学员中可以形成多少种学员上场方案？
（2）如果在选出 \(11\) 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？

解答：
（1） \(C^{11}_{17} = 12376\)
（2） \(C^{1}_{17} \times C^{10}_{16}= 12376\)（先找出守门员有多少种选取方案，再找出其余由多少种选择方案）

例二

（1）平面内有 \(10\) 个点，以其中每 \(2\) 个点为端点的线段共有多少条？
（2）平面内有 \(10\) 个点，以其中每 \(2\) 个点为端点的有向线段共有多少条？

解答：
（1）\(C^2_{10} = 45\)（显然是在 \(10\) 个点中选取 \(2\) 个点）
（2）\(A^2_{10} = 90\)（因为是有向线段所以选择 a,b 和选择 b,a 是不一样的，于是属于排列）

例三

（1）凸五边形有多少条对角线？
（2）凸 \(n(n>3)\) 边形有多少条对角线？

解答：
（1）
alt text
根据图片，我们可以证出凸五边形有 \(5\) 条对角线。同时我们可以这样理解：
对角线即为在图形中选择两个点，但是我们不能选到边，可得出公式：\(C^2_5-5=5\)（减去边的数量）。
（2）可以根据上面的公式得出：\(C^2_n-n\)。

知识点小结

1、分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 \(n\) 类办法，在第二类办法中有 \(m_1\) 种不同剖方法，在第二类办法中有 \(m_2\) 种不同的方法， ……，在第 \(n\) 类办法中有 \(m_n\) 种不同的方法。
那么完成这件事共有 \(N=m_1+m_2+\ldots+m_n\) 种不同的方法。

2、分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 \(n\) 个步骤，做第一步有 \(m_1\) 种不同的方法，做第二步有 \(m_2\) 种不同的方法， ……，做第 n 步有 \(m_n\) 种不同的方法，那么完成这件事有 \(N=\ldots m_1{ }^ \times m_2{ }^ \times \ldots m_n\) 种不同的方法。

3、可重排列
在 m 个不同的元素中，每次取出 n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二…… 第 n 位是的选取元素的方法都是 \(m\) 种；所以从 \(m\) 个不同的元素中，每次取出 \(n\) 个元素的可重复的排列数为 \(m^n\)。

4、解排列组合问题
(1) 要弄清一件事是 "分类" 还是 "分步" 完成；
(2) 对于元素之间的关系，还要考虑是 "有序的" 还是 " 无序的，也就是会正确使用分类计数 \(Q\) 和分步计数原理、排列定义和组合定义；