概述
浮点数的表示和运算
- 浮点数的表示；IEEE 754标准；浮点数的加/减运算
浮点数的表示与运算
浮点数的表示
浮点数表示法是指以适当的形式将比例因子表示在数据中，让小数点的位置根据需要而浮动。这样在位数有限的情况下，既扩大了数的表示范围，又保持数的有效精度。
浮点数的表示格式
浮点数由符号、尾数和阶码三部分组成，其表示的数值为：
式中，\(S\)取值0或1，用来决定浮点数的符号；\(M\)是一个二进制小输，称为尾数，一般用定点原码小数表示；\(E\)是一个二进制定点整数，称为阶码或指数，用移码表示。\(R\)是基数（隐含），可以约定为2、4、16等。
- 阶码的值反应浮点数小数点的实际位置。
- 阶码的位数反应浮点数的表示范围。
- 尾数的位数反应浮点数的精度。
浮点数的表示范围与溢出
浮点数的表示范围是关于原点对称的：
- 正上溢：运算结果大于最大正数是称为正上溢
- 负上溢：运算结果小于绝对值最大负数时称为负上溢。
- 上溢：正上溢和负上溢统称为上溢。
数据一旦产生上溢，计算机必须中断运算操作，进行溢出处理。
- 正下溢：当运算结果在0至最小正数之间时称为正下溢。
- 负下溢：当运算结果在0至绝对值最小负数之间时称为负下溢。
- 下溢：正下溢和负下溢统称下溢。
数据下溢时，浮点数值趋于0，计算机将其当作机器零处理。
IEEE754标准
按照IEEE754标准，常用的浮点数格式有32位单精度浮点数（短浮点数，float型）和64位双精度浮点数（长浮点数，double型）。
| 类型 | 符号s | 阶码e | 尾数f | 总位数 | 偏置值 |
|---|---|---|---|---|---|
| 单精度 | 1 | 8 | 23 | 32 | 7FH/127 |
| 双精度 | 1 | 11 | 52 | 64 | 3FFH/1023 |
float和double的基数都为2
隐藏位：对于规格化的二进制浮点数，尾数的最高位总是1，未来能使尾数多表示一位有效位，将这个1隐藏，称为隐藏位，因此23位尾数实际上表示了24位有效数字。IEEE754规定隐藏位1的位置在小数点之前。
偏置：在IEEE754标准中，指数用移码表示，但偏置不是通常n位移码所用的\(2^{n-1}\)而是\(2^{n-1}-1\).
规格化单精度浮点数的真值：
规格化双精度浮点数的真值：
IEEE754规定的特殊意义浮点数
- \(+0/-0\)：阶码全0，尾数全0
- \(+\infty/-\infty\)：阶码全1，尾数全0
- NaN：阶码全1，尾数非0
- 非规格化数：阶码全0，尾数非0
定点、浮点表示的区别
- 数值的表示范围：若定点数和浮点数的字长相同，则浮点表示法所能表示的数值范围远大于定点表示法。
- 精度：对于字长相同的定点数和浮点数来说，浮点数虽然扩大的表示范围，但精度降低。
- 数的运算：浮点数包括阶码和尾数两部分，运算时不仅要做尾数的运算，还要做阶码的运算，而且运算结果要求规格化，所以浮点数运算比定点数运算复杂。
- 溢出问题：在定点运算中，当运算结果超出数的表示范围时，发生溢出；在浮点运算中，运算结果超出尾数表示范围却不一定溢出，只有规格化后阶码超出所能表示的范围时，才发生溢出。
浮点数的加减法运算
对阶
- 对阶的目的是使两个操作数的小数点位置对齐，即使得两个数的阶码相等。
- 对齐原则：小阶码向大阶码看齐，将阶码小的尾数右移1位，阶码加1，直至两个数的阶码相等。
尾数右移时，若舍弃有效位会产生误差，影响精度。为了保证运算的精度，尾数右移时，低位移出保留，并继续参加尾数部分的运算。
尾数加减
- 对阶后的尾数按定点原码小数的加（减）运算规则进行运算。
- 在进行尾数加减时，必须将隐藏位还原到尾数部分。
- 运算后的尾数补一点给是规格化的，因此还需要进一步进行规格化处理。
舍入
为保证运算精度，一般将移出的部位低位保留下来，参加中间过程的运算，最后再将运算结果进行舍入，还原成IEEE754格式。
IEEE754提供了四种可选的舍入模式：
- 就近舍入：舍入为最近的可表示数。
- 正向舍入：取右边最近的可表示数。
- 负向舍入：取左边最近的可表示数。
- 截断法：截取所需位数，丢弃后面的所有位。该方法等价于取更接近原点的可表示数。
溢出判断
若一个正整数超过了最大允许值（127/1023）则发生指数上溢，产生异常；
若一个负指数超过了最小允许值（-149/-1074），则发生指数下溢，通常按机器零处理。
尾数舍入（溢出）：数值很大的尾数舍入时，可能因为末位加1而发生尾数溢出，此时需要通过右规调整尾数和阶码。
右规（上溢）：右规时阶码加1，若加1后阶码全1，则发生指数上溢。（IEEE规定指数全1尾数非零为NAN）
左规（下溢）：左规时阶码减1，阶码全0则发生指数下溢。
对于非规格化数的情况，尾数为0.0...01时，指数的最小允许范围是：-126-23=-129或-1022-52=-1074
C语言中的浮点类型
不同类型数的混合运算时，遵循的原则是“类型提升”，即较低类型转换为较高类型。
- 整型：char->int->long->(double，当和浮点数运算时)
- 浮点型：float->double
转换时的精度、范围分析
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int型转换为float型：不会发生溢出，但float尾数连隐藏位共24位，当int型的第24~31位非0时，无法精确转换成24位浮点数，需舍入处理，影响精度。
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int型/float型转为double型：由于double型的有效位数更多，因此能保留精确值。
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double型转为float型：float表示范围更小，因此大数转换时可能发生溢出；float尾数有效尾数更少，高精度数转换时发生舍入。
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float型/double型转int型：由于int型没有小数部分，因此数据会向0方向截断（仅保留整数部分），因此发生舍入。int型表示范围更小，大数转换时可能会溢出。
数据的大小端和对齐存储
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在存储数据时，数据从低位到高位可以按从左到右排列，也可以按照从右到左排列。
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通常用最低有效字节（LSB）和最高有效字节（MSB）来分别表示数据的低位和高位。
机器数 01 23 45 67H，其最高有效字节MSB=01H，最低有效自己LSB=67H
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根据数据中各字节在连续字节序列中的排列顺序不同，可以采用两种排列方式：大端方式和小端方式。
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大端方式：先存储高位字节，后存储低位字节。字中的字节顺序和原序列的相同。
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小端方式：先存储低位字节，后存储高位字节。字中的字节顺序和原序列的相反。
边界对齐方式
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数据按边界对齐方式存放要求其存储地址是自身大小的整数倍，半字地址一定是2的整数倍，字地址一定是4的整数倍。
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当所存数据不满足上述要求时，可通过填充空白字节使其符合要求
字地址中的字指代4字节。
结构体对齐
在C语言中的struct类型中，“边界对齐”有两个重要要求：
- 每个成员按其类型的大小对齐，不同类型的对齐值不同；
- struct的长度必须是成员中最大对齐值的整数倍（不够就补空字节）
struct A{int a; char b;short c;
} // sizeof(A) = 8struct B{char b;int a;short c;
} // sizeof(B) = 12
