manim中曲线，除了前面介绍的圆弧类曲线，也可以绘制任意的曲线。
manim中提供的CubicBezier模块，可以利用三次贝塞尔曲线的方式绘制任意曲线。
关于贝塞尔曲线的介绍，可以参考：https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve。
本文主要介绍贝塞尔曲线和两种带箭头的曲线的模块。
CubicBezier：三次贝塞尔曲线，可以绘制平面上的任意曲线CurvedArrow：单箭头曲线CurvedDoubleArrow：双箭头曲线
1. 主要参数
CurvedArrow和CurvedDoubleArrow的主要参数就是曲线的起点和终点，
这两个模块继承自ArcBetweenPoints模块。
| 参数名称 | 类型 | 说明 |
|---|---|---|
| start | Point3D | 起点 |
| end | Point3D | 终点 |
CubicBezier模块的参数是四个点，建议先了解三次贝塞尔曲线的原理，然后就能明白这4个参数的意义。
| 参数名称 | 类型 | 说明 |
|---|---|---|
| start_anchor | Point3D | 起点 |
| start_handle | Point3D | 第一个控制点，影响曲线起点到中间部分的弯曲方向 |
| end_handle | Point3D | 第二个控制点，影响曲线中间部分到终点的弯曲方向 |
| end_anchor | Point3D | 终点 |
比如下面的贝塞尔曲线，其中:
- $ P_0 $相当于参数
start_anchor - $ P_1
$相当于参数start_handle - $ P_2 $相当于参数
end_handle - $ P_4 $相当于参数
end_anchor。
2. 使用示例
2.1. 带箭头的曲线
带箭头的曲线由起点开始沿逆时针方向旋转到终点。
CurvedArrow(LEFT / 2 + UP,RIGHT / 2 + UP,color=BLUE,
)
CurvedArrow(LEFT + UP / 2,RIGHT + UP / 2,color=RED,
)
CurvedDoubleArrow(LEFT * 2 + UP / 2,RIGHT * 2 + UP / 2,color=YELLOW,
)CurvedDoubleArrow(RIGHT * 2 + DOWN * 1.6,LEFT * 2 + DOWN * 1.6,color=YELLOW,
)
CurvedArrow(RIGHT + DOWN * 1.6,LEFT + DOWN * 1.6,color=RED,
)
CurvedArrow(RIGHT / 2 + DOWN * 2.1,LEFT / 2 + DOWN * 2.1,color=BLUE,
)
2.2. 贝塞尔曲线绘制过程
贝塞尔曲线通过四个点就能绘制出非常平滑的曲线，其中的原理网络上有很多文章介绍，这里不再赘述。
下面通过一个动画演示其绘制的原理。
- 白色的点：用于绘制贝塞尔曲线的4个固定点
- 蓝色点：根据4个白色点计算得出
- 红色点：根据3个蓝色点计算得出
- 黄色点：根据2个红色点计算得出
蓝色点沿着白色点连接的线移动，红色点随蓝色点联动，黄色点随红色点联动，
黄色点的运动轨迹就是绘制出的曲线。
有了CubicBezier模块，可以根据四个点直接绘制贝塞尔曲线，效果和上面的一样，只是代码会简化很多。
points = [LEFT * 2 + DOWN,LEFT + UP,RIGHT * 1.5 + UP,RIGHT * 2 + DOWN,
]CubicBezier(points[0],points[1],points[2],points[3],color=YELLOW,
)
2.3. 绘制爱心
贝塞尔曲线可以绘制非常光滑的曲线，理论上可以绘制各种复杂的曲线图形。
下面尝试用三次贝塞尔曲线来绘制一个爱心的图案。
points = [2 * DOWN * 0.5,2 * LEFT,2 * (LEFT + UP),2 * UP * 0.5,
]
# 左半部分
CubicBezier(points[0],points[1],points[2],points[3],color=RED,
)points = [2 * DOWN * 0.5,2 * RIGHT * 1,2 * (RIGHT * 1 + UP),2 * UP * 0.5,
]
# 右半部分
CubicBezier(points[0],points[1],points[2],points[3],color=GREEN,
)
3. 附件
文中完整的代码放在网盘中了（bezier.py），
下载地址: 完整代码 (访问密码: 6872)
