AtCoder Beginner Contest 196 A~E 题解

A - Difference Max

题目大意

给定四个整数\(a,b,c\)和\(d\)。
我们要选择两个整数\(x\)和\(y\)（\(a\le x\le b\)；\(c\le y\le d\)）。输出最大的\(x-y\)。

\(-100\le a\le b\le 100\)
\(-100\le c\le d\le 100\)

输入格式

\(a~~b\)
\(c~~d\)

输出格式

输出最大的\(x-y\)。

样例

\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d\)	输出
\(0\)	\(10\)	\(0\)	\(10\)	\(10\)
\(-100\)	\(-100\)	\(100\)	\(100\)	\(200\)
\(-100\)	\(100\)	\(-100\)	\(100\)	\(200\)

分析

如果要\(x-y\)最大，那么\(x\)要尽可能大、\(y\)要尽可能小。因此，\(x\)取最大值\(b\)，\(y\)取最小值\(c\)。所以，我们直接输出\(b-c\)即可。

代码

#include <cstdio>
using namespace std;int main()
{int a, b, c, d;scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);printf("%d\n", b - c);return 0;
}

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B - Round Down

题目大意

给定一个数\(X\)，求\(\lfloor X\rfloor\)。

\(0\le X\le 10^{100}\)

输入格式

\(X\)

输出格式

输出\(\lfloor X\rfloor\)。

样例

\(X\)	输出
\(5.90\)	\(5\)
\(0\)	\(0\)
\(84939825309432908832902189.9092309409809091329\)	\(84939825309432908832902189\)

分析

只需找到小数点并将其及后面的数位删去再输出即可。例如：\(5\sout{.90}\)

代码

#include <cstdio>
using namespace std;int main()
{char c;while((c = getchar()) != '\n'){if(c == '.') return 0;putchar(c);}return 0;
}

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C - Doubled

题目大意

\(1\)~\(N\)之间有多少个数是另一个正整数重复两遍得来的？

\(1\le N<10^{12}\)

输入格式

\(N\)

输出格式

输出答案。

样例

\(N\)	输出
\(33\)	\(3\)
\(1333\)	\(13\)
\(10000000\)	\(999\)

分析

这道题说白了就是要找到最大的\(X\)，使得\(X\)重复两遍不超过\(N\)，并输出\(X\)。我们可以使用二分法求出最大的\(X\)。
注意：这里的二分右边界最好设置为\(\sqrt N\)，否则一不小心就会溢出！

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;typedef long long LL;inline bool check(const LL& x, const LL& n)
{LL p = 1LL;while(p <= x) p *= 10LL;return x * p + x <= n;
}int main()
{LL n;scanf("%lld", &n);LL l = 0LL, r = sqrt(n);while(l < r){LL mid = l + r + 1LL >> 1LL;if(check(mid, n)) l = mid;else r = mid - 1;}printf("%lld\n", l);return 0;
}

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D - Hanjo

题目大意

有一个\(H\times W\)的地板，请你在地板上铺砖。
有两种地砖：\(a\)和\(b\)。\(a\)地砖有\(A\)个，是\(2\times1\)的可旋转长方形。\(b\)地砖有\(B\)个，是\(1\times1\)的正方形。问要将这个地板正好铺满，总共有多少种铺法？

\(1\le H,W,HW\le 16\)
\(0\le A,B\)
\(2A+B=HW\)

输入格式

\(H~W~A~B\)

输出格式

输出答案。

样例

\(H\)	\(W\)	\(A\)	\(B\)	输出
\(2\)	\(2\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(3\)	\(3\)	\(4\)	\(1\)	\(18\)
\(4\)	\(4\)	\(8\)	\(0\)	\(36\)

分析

由于数据范围较小，我们可以用暴力搜索解决这道题。注意，这里搜索时为了避免重复计算，我们每次递归只尝试一个位置，这样还能有效加速。具体请看代码。

代码

#include <cstdio>
#define maxn 20
using namespace std;bool mat[maxn][maxn];
int h, w, a, b, ans;inline bool valid(int x, int y)
{return !mat[x][y] && x >= 0 && x < h && y >= 0 && y < w;
}void dfs(int i, int j, int usedA, int usedB)
{if((usedA << 1) + usedB == h * w){ans ++;return;}if(i == h) return;int ni, nj;if(j == w - 1) ni = i + 1, nj = 0;else ni = i, nj = j + 1;if(mat[i][j]){dfs(ni, nj, usedA, usedB);return;}mat[i][j] = true;// Rectangle (A)if(usedA < a){if(valid(i, j + 1)){mat[i][j + 1] = true;dfs(ni, nj, usedA + 1, usedB);mat[i][j + 1] = false;}if(valid(i + 1, j)){mat[i + 1][j] = true;dfs(ni, nj, usedA + 1, usedB);mat[i + 1][j] = false;}}// Square (B)if(usedB < b) dfs(ni, nj, usedA, usedB + 1);mat[i][j] = false;
}int main()
{scanf("%d%d%d%d", &h, &w, &a, &b);dfs(0, 0, 0, 0);printf("%d\n", ans);return 0;
}

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E - Filters

题目大意

给定三个整数序列\(A = (a_1, a_2, \dots, a_N)\)、\(T = (t_1, t_2, \dots, t_N)\)和\(X = (x_1, x_2, \dots, x_Q)\)。
我们如下定义\(N\)个函数\(f_1(x), f_2(x), \dots, f_N(x)\)：
\(f_i(x) = \begin{cases} x + a_i & (t_i = 1)\\ \max(x, a_i) & (t_i = 2)\\ \min(x, a_i) & (t_i = 3)\\ \end{cases}\)
对于每个\(i = 1, 2, \dots, Q\)，求\(f_N( \dots f_2(f_1(x_i)) \dots )\)。

\(1 \le N,Q \le 2 \times 10^5\)
\(|a_i|,|x_i|\le 10^9\)
\(1 \le t_i \le 3\)

输入格式

\(N\)
\(a_1~t_1\)
\(a_2~t_2\)
\(\vdots\)
\(a_N~t_N\)
\(Q\)
\(x_1~x_2~\dotsx x_q\)

输出格式

输出\(Q\)行。第\(i\)行应该包含\(f_N( \dots f_2(f_1(x_i)) \dots )\)。

样例

样例输入

3
-10 2
10 1
10 3
5
-15 -10 -5 0 5

样例输出

0
0
5
10
10

在这里，\(f_1(x) = \max(x, -10), f_2(x) = x + 10, f_3(x) = \min(x, 10)\)，则有：

• \(f_3(f_2(f_1(-15))) = 0\)
• \(f_3(f_2(f_1(-10))) = 0\)
• \(f_3(f_2(f_1(-5))) = 5\)
• \(f_3(f_2(f_1(0))) = 10\)
• \(f_3(f_2(f_1(5))) = 10\)

分析

（参考AtCoder官方题解）
很容易想到，我们可以直接照做，即分别计算每个\(f_N( \dots f_2(f_1(x_i)) \dots )\)。但是，这样做的时间复杂度是\(\mathcal O(NQ)\)，所以肯定会TLE。
我们考虑它们的复合函数\(F(x)=f_N( \dots f_2(f_1(x_i)) \dots )\)在图上怎么表示。

• 当\(t_i=1\)，\(f_i\)是将图整体平移的操作；
• 当\(t_i=2\)，\(f_i\)是将图的最小值设为\(a_i\)；
• 当\(t_i=3\)，\(f_i\)是将图的最大值设为\(a_i\)。

所以，我们可以得到下图：

或者说，存在三个数\(a,b,c\)使得\(F(x)=\min(c,\max(b,x+a))\)。
关于\(a,b,c\)的具体计算请看代码。

代码

注意：这里的代码中的\(\infty\)（INF）一定不能直接设为long long的最大值，否则会溢出！

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;typedef long long LL;
const LL INF = LLONG_MAX >> 1LL;int main()
{LL l = -INF, r = INF, add = 0LL;int n, q;scanf("%d", &n);while(n--){LL a, t;scanf("%lld%lld", &a, &t);if(t == 1) l += a, r += a, add += a;else if(t == 2) l = max(l, a), r = max(r, a);else l = min(l, a), r = min(r, a);}scanf("%d", &q);while(q--){LL x;scanf("%lld", &x);printf("%lld\n", clamp(x + add, l, r));}return 0;
}