CSP2024-18

A

题意：给出两个 \(n \times m\) 的矩阵 \(A, B\)，一次操作可以使 \(A\) 或 \(B\) 的一行/列加一。求使 \(A, B\) 相等的最小操作次数。

数据范围：\(n, m \le 10^5, n \times m \le 10^5\)。

令 \(X = A - B\)，则题目转化为每次可以使一行/列加减一，求使得 \(X\) 全零的最小操作数。

设 \(r_i\) 表示第 \(i\) 行的操作增量，\(c_i\) 表示第 \(i\) 列的操作增量，显然对于一行而言要么加要么减，因此最后代价等于 \(\sum \vert r_i\vert + \vert c_i\vert\) 。

对于任意 \(i, j\)，有 $r_i + c_j = -x_{i, j} $。

如果 \(r_1 = t\) 确定，剩下的 \(n + m - 1\) 个未知数都能确定，其中 \(c_i = -x_{1, i} - t,\ r_i = -x_{i, 1} - c_1\)。

证明，如果有解，则 \(r_1\) 可以是任何整数。

假设当前已经达到一个全零局面，强制使 \(r_1\) 的值加一，那么对所有的 \(c_i\) 减一，所有的 \(r_{i > 1}\) 加一，则可达到另一个全零局面。

即随便检验一个 \(t\) 就能判断无解。

现在目的是最小化 \(\sum \vert -x_{1, i} - t\vert + \sum \vert -x_{i, 1} + x_{1, 1} + t\vert\)，即最小化 \(t\) 到 \(-x_{1, i}\) 和 \(x_{i, 1} - x_{1, 1}\) 的距离，典型的贪心。

submission

B

题意：给定长度为 \(n\) 的 01 序列 \(a, b\)，定义 \(f(l, r) = [\text{区间内 } 1 \text{ 个数大于 } 0]\)。输出一个 01 序列 \(c\)，其中 \(c_k = \prod_{i = k}^n [f(i - k + 1, i) = b_k]\)。

把 0 看作 -1 求出前缀和，那么有 \(f(l, r) = [s_r > s_{l - 1}]\)。

根据 \(s_i\) 从小到大，\(i\) 从大到小插入每个 \(i\)，如果插入某个 \(b_i = 0\) 且存在 \(j < i\) 已经被插入则 \(k = i - j\) 不合法。

如果反着插入一个 \(b_{i} = 1\) 且存在 \(j < i\) 则 \(i - j\) 不合法。

bitset 维护每个插入 \(j\) 的 \(n - j\)，右移 \(n - i\) 就是 \(i - j\)，时间复杂度 \(O(\dfrac{n^2}{w})\)。submission

C

题意：给出以 \(1\) 为根的一棵树，每个点有三个参数 \(X_u, Y_u, Z_u\)。

在 \(u\)（不含）到根之间 \(up_u\) 个点中至少选 \(X_u\) 个，设其到 \(u\) 的距离和为 \(S_1\)；

在 \(u\)（不含）的子树 \(down_u\) 个点中至少选 \(Y_u\) 个，设其距离和为 \(S_2\)。满足两部分加起来恰好选了 \(m\) 个点。

对于每个 \(1 \sim n\)，输出 \(\vert S_1 - S_2 + Z_u\vert\) 的最小值。\(m \le n \le 5 \times 10^5, \vert Z_u\vert \le 10^9,\ \text{1s}\)。

设 \(S = S_1 - S_2\)，要找和 \(-Z_u\) 最接近的。

\(S\) 的上下界容易求得：上界：上方尽可能靠上选 \(\min(up, m - Y_u)\) 个点，下方剩余的点也尽可能靠上；下界类似。

现在证明，\(v \in [\min, \max]\) 几乎全能取到。

从最小值的状态开始。如果存在一个被选节点的父亲没有被选且不是 \(u\)，改选他的父亲，\(S \to S + 1\)。

如果不存在这样一个点，则 \(u\) 下方都尽可能靠上，上方也尽可能靠上。

同一深度的点是可以交换的，这样可以平衡到最终局面。

由于是从最小局面开始的，可能 \(u\) 下方有多余节点，\(u\) 上方有空余节点，可以把一个儿子替换父亲。

这样会使 \(S \to S + 2\)，解决方案是使其他被选点改成其儿子。

这样的点几乎都能找到，除非「改之前下满或只有一个点」且「改之后上满或只有一个点」。

不会有改之前上满的情况，如果上满且未到达最大局面，可以调整下方同深度的点到达。

对于 4 个 corner-case 特判即可。

剩下部分只需要求出上下界，到根的链非常好处理，子树内选点则可以线段树合并子节点深度，支持查询前/后 \(k\) 大值的和。

submission

D

流。