网络流与图匹配

【学习笔记】网络流

(2024.4.23)

时代的眼泪，近几年真的有考过吗，感觉不如二分图。

Part1. 基本定义

1. 流函数 \(f\) 满足 1.斜对称性 2.流量守恒。
2. 定义残量网络为容量函数 \(c'=c-f\) 的网络，当 \(c'=0\) 视作不存在。
3. 定义增广路 \(P(V,E_f),\) 是残量网络上一条 \(S\to T\) 的路径。
4. 定义割为将 \(V\) 分成两个不相交集合 \(A,B\) ，且 \(S\in A,T\in B\) 。定义割的 容量 为 \(\sum\sum c(u,v)\) ，流量为 \(\sum\sum f(u,v)\) 。若 \(u,v\) 所属集合不同，则边 \((u,v)\) 为割边。最小割即为将 容量 最小化的分割方案。

Part2. 最大流

定义一次 增广 操作为：找到残量网络上一条增广路，每一条边增加 \(p=\min c_f(u,v)\) 的流量。并将其反边 \((v,u)\) 的 容量 增加 \(p\) ，这样做目的即支持反悔。

实现上，\(cnt=1\) 开始，且先进行 ++cnt ，并且正反边 紧邻 ，则 i^1 即为反向边。即正向边是偶数，反向边是下一个奇数。

EK 算法

即使用 bfs 寻找 长度最短 的增广路，此时复杂度为 \(O(nm^2)\) ，若任意选择，则复杂度退化为跟流量相关，即 可能会在两个点之间来回增广的 dfs 方法。

Dinic 算法

核心思想是 分层图 以及 当前弧优化 。分层图的目的是规范增广路的形态，避免形成一个环。

增广路时流量等于容量的满边是无用的，可以直接跳过，为此记录每个点出发第一条没有流满的边，称为 当前弧 ，看似是常数优化实际上影响了复杂度：不加优化为 \(O(nm^2)\) ，加入当前弧优化为 \(O(n^2m)\) 。

Part3. 无负环的费用流

相较于一般网络流，每条边加入一权值 \(w(u,v)\) ，最小费用最大流需要在 保证最大流 基础上，使得 \(\sum f(x,y)\times w(x,y)\) 最小。简单来说，\(w(u,v)\) 就是每条边流 \(1\) 的费用。

连续最短路 SSP 算法

实现上，将 Dinic 的 BFS 换做 SPFA，且 DFS 多路增广时，仅在 \(d[x]+w=d[y]\) 的边上进行。注意实现上退流后费用也要退掉，因此反边权值为 \(-w(x,y)\) 。

理论时间复杂度为 \(O(nmf)\) ，但实际上远远达不到。

注意 SPFA 在队首位 T 时不能直接 break; ，因为此时 d[T] 不一定是最短路。

Part4. 最大流最小割定理

感性理解就是 最小割一定是 \(A\) 全在左边，\(B\) 全在右边，则此时取得最小割，也就是从中间切一刀，得到的所有流量之和，为最大流。

【模板】最小割树（Gomory-Hu Tree）

\(10^5\) 次询问一个图，\(u,v\) 两点间的最小割。

定理：不管怎么选两点，最小割只有 \(n-1\) 种。

因此考虑分治，每次在原图上找两个点 \(u,v\) ，求完他们的最小割，在最小割树上连边 \((u,v)=\text{mincut}\)，然后原图被分为两部分，再递归做即可。

结论：\(u,v\) 的最小割，是两点在最小割树上的路径最小值。

然后对于多次询问，树上倍增处理即可。

但是，因为网络流的图都很小 \(n\le 1000\) ，所以我们可以直接 \(n^2\) 预处理所有询问，并且无需建树，树在心中。

Part5. 对网络流的理解

1. 费用流与贪心

   费用流的策略是找到长度短的增广路进行增广，并且在添加反边以支持返回。因此 费用流和反悔贪心可以相互转化，于是一些费用流题目，可以转换为贪心再方便地利用数据结构维护。

2. 费用流与凸性

   如果问题可以抽象成费用流模型，每一滴流量带来的贡献单调，则选取 \(i\) 个物品答案 \(f(i)\) 有凸性，可以使用 wqs二分。

3. 最小割求方案

   可能会理解割边为最大流上流满的边，反例：\(S\to 1 \to T\) 。

   正确的做法是，残量网络上 \(S\) 能到达的点为 \(A\) ，否则为 \(B\) 。再判断割边。

4. 反悔的性质

   在解决 动态加边 的最大流问题时，不需要担心原来的流方案影响正确性，因为正确性基于反悔。

   但对于费用流问题，正确性基于最短路，则加入新边后需要重新跑 SPFA。

Part6. 上下界网络流

即新增下界 \(b(u,v)\) ，需要满足 \(b\le f\le c\) 。

1.无源汇可行流

可行性主要在于流量守恒，即每个点不能储存流量。

核心思想：先满足下界限制，在尝试调整 。具体地，先让每条边都流满下界 \(b\) ，算出每个点净流量 \(w=\sum f(u,i)-\sum f(i,u)\) 。需要满足每个点 \(w=0\) 。

根据 斜对称性，则不妨设 \(\Delta=\sum_{w_i>0} w_i=\sum _{w_i<0}-w_i\) 。如果能将 \(\Delta\) 在满足上界前提下分配，则具有可行性。

这启发我们新建一个网络 \(G'=\{V,E'=c-f=c-b\}\) ，然后建立虚拟源点汇点 \(SS,TT\) ，若 \(w_i>0\) ，则 \(SS\to i\) 连容量为 \(w_i\) 的边，否则，\(i\to TT\) 连容量为 \(-w_i\) 的边，不难发现流出 \(SS\) 的容量和流进 \(TT\) 的流量均为 \(\Delta\) 。若 \(SS\to TT\) 的最大流等于 \(\Delta\) ，则 \(f(u,v)=b(u,v)+f'(u,v)\) 为合法方案。

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这个地方特别容易记混，如果一个点入度大于出度，则应该由虚拟源点向其连边，因为这样才能让这个点多流出这些流量。

2. 有源汇可行流

从 \(T\to S\) 连容量为下界为 \(0\) ，上界为正无穷的边。由于流量守恒，则这条边的流量即为答案。

细节：最后加这条边，则直接删 e[tot].w 即可。

3. 有源汇最大流

引理：对于任意一组可行流，对其运行最大流算法，总能得到最大流。

因此，得到一组可行流 \(G\) 后，新建网络 \(G'\) 为去掉 \(SS,TT\) ，以及 \(T\to S\) 容量为正无穷的边，则以 \(S,T\) 为源汇点跑最大流，最后的答案是 可行流流量+新的最大流流量 ，且注意可行流流量为 \(T\to S\) 的反边流量，而不是 \(SS\to TT\) 的流量。

4. 有源汇费用流

同样转换即可，初始为 \(\sum w(u,v)b(u,v)\) 。

Part7. 应用与模型

1. 最小割点----点边转化

将每个点拆为 \(i_{in}\) 和 \(i_{out}\) ，从 \(i_{in}\to i_{out}\) 连 \(w_i\) 的边，\(u_{out}\to v_{in}\) 连 \(\inf\) 的边。因为我们只能删点，不能删边。

2. 集合划分模型

有 \(n\) 个物品，\(A,B\) 两个集合，分到两个集合的代价分别是 \(a_i\) 和 \(b_i\) ，给定若干限制 \((u,v,c_{u,v})\) 表示 \(u,v\) 不在一个集合还需要付出的额外代价。代价最小是多少。

建模：将 $ S\to i$ ，容量为 \(b_i\) ，\(i\to T\) ，容量为 \(a_i\) ，\(i,j\) 之间连双向边，容量为 \(c_{i,j}\) 。此时问题显然等价于最小割。

扩展

• 若 \(a,b\) 存在负值，则同时加上 \(\delta\) ，最后结果减去 \(\sum \delta\) ，因为每个点只有选或不选两种状态，所以与最短路等模型不同，其不会影响答案。

3. 最大权闭合子图

或许是更系统的理解方式。

有向图 的闭合子图是指 \(G'=\{V',E\}\) ，也即选择一个点集，使得他们所有连边仍在闭合子图上。点有点权，求最大权值。

考虑转换为集合划分模型，若一个点选，则 \(S\) 与 \(i\) 相连，则要割掉 \(i\to T_i\) ，故 \(i\to T_i\) 容量为 \(a_i\) ，对于原图上的一条边 \((u,v)\) ，则其必须都选，即容量为 \(-\infin\) 。

此时是最大割（NP-Hard）问题，转换成最小割， \(a_i\) 变成负值，运用上文拓展，将 \(S\to i\) 和 \(i\to T\) 同时加上 \(a_i\) ，这样就只有前者有值了。最后再减去 \(\sum a_i\) 即可。

当然有的 \(a_i\) 本身就是负数，那我们就不管他们了。最后记得取反变成最小割。

总结：原图建出来，每条边赋值 \(+\infin\) ，源点连正权点，负权点连汇点，最后再跑最小割 \(x\) ，答案为 \((\sum_{a_i>0} a_i)-x\) 。

4. 有负环的费用流

运用上下界网络流将负权边强制满流即可，再建立 \((v,u)\) 用于回流。相当于再额外让一些负权边少流。

记录详情 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn) 。还是注意第一步最大流应该取 e[tot].w 的，并且要清空这条边的容量。

应用在哪？很多题的贪心可能是最大费用最大流之类的，取反后即为（可能）有负环的费用流。

Part8.（新）网络流二十四题

1. P1251 餐巾计划问题

每天需要 \(r_i\) 条干净毛巾，用完后的脏毛巾可以有两种送洗方案： \(m\) 天后用，费用 \(f\) ，\(n\) 天后用，费用 \(t\) ，或者保存起来延期送洗。你同时可以选择买干净毛巾，价格 \(s\) 。

此题精髓在于对两种毛巾状态的拆点处理。

我们可以想到，每天开始的时候只有干净的餐巾可使用，每天结束的时候仅有脏的餐巾需要操作。于是将每天拆成两个点：起始点与结束点，分别处理不同时间段所需操作。

起始点连向汇点，源点连向结束点，表示每天固定要用 \(r_i\) 条。

对于一个起始点，有源点连向他表示购买毛巾。

对于一个结束点，连向 \(m,n\) 天后的起始点表示送洗，连向 \(i+1\) 天的结束点表示延期送洗。

Debug

费用流中，如果仅判断 dis，而不判断 dep ，应在开头判断是否为终点，否则在终点有边权为 \(0\) 边时会死循环。

2. P2764 最小路径覆盖问题

求一张有向无环图，所有点都覆盖一次，路径最少的个数。

要求点只通过一次是困难的，这启发我们点边互换，套路的，将一个点拆为 \(i_{in}\) 和 \(i_{out}\) 。

我们考虑调整法，初始状态是 \(n\) 条只有一个点的路径覆盖所有点，考虑合并两个路径，即为一个点的 \(i_{out}\to j_{in}\) 。这一点流量说明减少一个路径，故 \(n-\) 最大流就是答案。

3. P4043 [AHOI2014/JSOI2014] 支线剧情

给定一个 DAG，边有边权，有若干出度为 \(0\) 的点和一个入度为 \(0\) 的点 \(1\) ，可以回退到根，求 到达所有叶子节点 的边权之和最小值。

相当于每条边下界为 \(1\) 的最小费用可行流。

Debug

容易搞混虚拟源点汇点连边的方向。

4. P1646 [国家集训队] happiness

在集合 \(A\) 价值为 \(a\) ，在集合 $B $ 价值为 \(b\) ，若干个同时在 \(A/B\) 有价值 \(c/d\) ，求最大价值。

集合划分问题模板，转换为最小割即可。

注意题目要求最大价值，且限制是两人在一个集合的额外价值。

用总答案减去最小割，转换为不选...的问题，对于相邻两个学生，则新建一个点 \(x\) 连接他俩，容量为 \(+\infin\) ，表示不能割，\(S\to x,x\to T\) 容量分别为 两个人同时不选择文/理的价值。

有若干倍经验均是此套路。

Debug

不是这太坑了，注意连边方向，别把虚拟点连成新的”源汇点“。评测记录 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

还有 id(x,y)=(x-1)*m+y 不要写成 n 呀。

flag：我就不信我今天还能连边方向出问题。

6. P5029 T'ill It's Over

初始有 \(n\) 个数 \(1\) ，你有 \(m\) 次操作，每次操作可以将一个范围在 \([l,r]\) 的数变成 \([u,v]\) 的任意一个数，且这个操作有次数限制。

求最后最多有多少个数变成 \(k\) 。

注意操作不是在线的。值域 \(10^5\) 。

将值域抽象为点，则显然是网络最大流。

然后显然是线段树优化建图区间连区间，根据套路，两颗线段树，一颗向上连，一颗向下连，共用叶子。

还是线段树良心，一遍过了。记录详情 - 洛谷

7.CF1009G Allowed Letters

给你一个字符串 \(s\) ，字符集为 \(\{a,b,c,d,e,f\}\)，你可以任意排列。需要保证每个位置的字符集为 \(T\) 。问字典序最小是多少？\(|s|\le 10^5\) 。

对于字典序问题都可以贪心，对于每个位置枚举当前填 \(c\) 是否合法，如何判断？因为有可能这里填了后面就不能再填了，关系抽象到图论上，形成一个二分图，我们只需检查有无完美匹配即可。

具体的，二分图左部是每个位置，右部是六个字符。一个位置 \(p\) 对应一个字符集 \(T_p\) ，则 \(t\in T_p\to p,p\to s_p\) 连边即可。一组匹配相当于若干个交换，检查是否存在完美匹配。若检查成功，则删去这条边。

检查完美匹配，我们通常可以想到两个方法：增广路和 Hall 定理。增广路的做法就是走状压 dp 的套路。两者都适用于 \(n\) 比较小的情况。

考虑 Hall 定理，左部大小为 \(n\) ，然而右部大小仅为 \(6\) ，所以枚举右部的子集即可。每个子集相邻的点数都大于等于左侧子集的大小 \(n\) 。

8. P3980 [NOI2008] 志愿者招募

有 \(n\) 天，每天至少需要 \(a_i\) 个志愿者，有 \(m\) 种志愿者，每种个数不限，价格为 \(c_i\) ，负责 \([l_i,r_i]\) 的工作。求最少花费。

无论是单纯性还是上下界都比原做法好理解多了。

用上下界网络流，\(i\to i+1\) 连下界为 \(a_i\) 的边，\(r_i\to l_i\) 连 \([0,\infin]\) ，价格为 \(c_i\) 的边，跑无源汇费用流即可。

10. P2050 [NOI2012] 美食节

\(n\) 个厨师 \(m\) 份菜，\(i\) 做 \(j\) 号菜的时间是 \(T_{i,j}\) 。第 \(i\) 个顾客选择了 \(a_i\) 号菜品。最小化所有人的等待时间之和。\(n,m\le40\)

第 \(i\) 个厨师做的第倒数 \(j\) 份菜品为 \(k\) ，对答案的贡献是 \(T_{i,k}\times j\) 。于是可以把每个厨师拆成所有时刻。跑费用流即可。

11.P3749 [六省联考 2017] 寿司餐厅

有 \(n\) 份寿司，你可以选择若干个不交极长段 \([l,r]\)，一次选择的价值是 \(\sum_{l\le i\le j\le r} d_{i,j}\) 。同时，每个 \(i\) 有一个种类 \(a_i\) ，表示如果有 \(a\) 个选择的是种类 \(x\) ，就要付出 \(-mx^2+cx,m\in\{0,1\}\) 的负贡献，其中 \(m\) 是给定的。求最大价值。

发现如果选择 \(d[i,j]\) ，则一定要选择 \(d[i+1,j]\) 和 \(d[i,j-1]\) 。\(d[i][i]\) 的值又相当于 \(d[i][i]-a[i]\) ，再解决种类的问题，\(d[i][i]\to a[i]\) ，\(a[i]=m*a[i]*a[i]\)

据此转换为最大权闭合子图问题即可。

12. P2805 [NOI2009] 植物大战僵尸

平面直角坐标系上有 \(n\) 个植物，击败有 \(c_i\) 的价值（可能为负数），第 \(i\) 个植物还有一个攻击到的点的集合 \(S\) ，且伤害是秒杀。

你是僵王博士，僵尸从右侧进入，吃 \((i,j)\) 前必须吃 \((i,j+1)\) 。求最大可能的价值是多少。

两种保护关系形成一个有向图，\(u\to v\) 表示吃 \(u\) 前必须先吃 \(v\) 。建图跑最大权闭合子图即可。

但是保护关系会 成环 ，而且任意能到达环上的点同时也不能选。用反图拓扑排序处理即可。

13. Pumping Stations

给定一个图，你需要构造一个排列，收益为 \(\sum \text{mincut} (a_{i-1},a_i)\) ，使得收益最大。并求出方案。

最小割树模板题，考虑分治建出最小割树。最小割等于路径上最小值，则树上最小边是只经过一次的，再分治进行处理。

14. P4298 [CTSC2008] 祭祀

给定一个DAG，你需要选择若干个点，满足任意两个点不能互相到达。最多化点的个数。

求出点的个数，并输出方案。

实际就是求 最长反链 。\(n\le100\)

**Dilworth **定理指出：最长反链=最小“链”划分，注意这里的“链”不同于最小路径覆盖问题，而是指可交链。

那这个问题与 2. P2764 最小路径覆盖问题 的区别在于：链可以被“挖空”，只保留端点。

因此我们用 Floyd传递闭包 建出每个点能够到达的点，再在这张新图上做原问题最大流即可解决第一问。

容易发现，因为无环，用传递闭包所建出的图是二分图。

第二问要输出一个可行的方案，实际就是 二分图最大独立集 ，按照其输出方案的套路做即可：

从左侧未匹配的点出发 dfs，从左往右只走非匹配边 ，从右往左只走匹配边，最小点覆盖即为 左侧的未访问点+右侧的访问点。最大独立集即为： 左侧的访问点+右侧的未访问点。

第三问求：是否存在一个最大方案选择了点 \(i\) ，这个好办，只需要删掉点 \(i\) 相连的，和连向点 \(i\) 的所有点和边（也即默认 选了 \(i\) ）。再跑最大匹配，看是否等于原答案减一即可。

因为传递闭包，\(m=O(n^2)\)，复杂度：\(O(n^{3.5})\) 。

Part9. 其他习题

1. Shoot the Bullet|东方文花帖|【模板】有源汇上下界最大流

建立起点 \(s\) 和终点 \(t\) ，\(s\) 向每天连上界为 \(d_i\) 的边，每天向每个人连 \([l_i,r_i]\) 的边，每个人向终点连下界为 \(g_i\) 的边，转换成有源汇上下界最大流问题。注意虚拟源点汇点。

Debug

第一步 dinic() 得到的最大流应该是 e[tot].w ，而非 dinic() 。

模拟费用流

二分图

竞赛幽灵，难在一些套路化的建模上。

如果两个贡献独立————贡献在坐标上————转换成二分图 。

Part2. 二分图神仙建模

1.给定 \(2n\) 个点，点有横纵坐标，我们称 一对点是好的，当且仅当横坐标相同或纵坐标相同。

最大化好的配对的数量，要求每个点都在一个配对中。

套路：横坐标连纵坐标。

2.给定一张 \(n*m\) 网格图，有 \(k\le10^6\) 个障碍。你一次可以跳到当前行或当前列任意一个没有障碍的点。求所有能跳到的点需要的跳跃次数的总和。 \(n,m\le10^5\) 。

套路：每个障碍横坐标连纵坐标，转换成补图最短路。

给定一个 \(n^2\) 矩阵，每个点有 \(p_i\) 概率为 \(1\) ，否则为 \(0\) ，求矩阵积和式 \(>0\) 的概率。\(n\le7\)。

积和式即为不带系数的行列式：\(\sum _{p}\prod a[i][p_i]\)。

如果一个点是 \(1\) ，相当于行列连边，问题转化为二分图完美匹配存在性。

Summary

在矩阵/网格图 上，多思考二分图 \(i\to j\)。贡献独立，也要想二分图。

Part3 二分图相关问题和定理

1. 最大匹配

若边集 \(M\) 满足任意两条边不交于同一端点，则称为匹配。

特殊的，\(|M|=|V_1|=|V_2|\) 被称为完美匹配。

\(\text{König}\) 定理指出：二分图最大匹配在数值上等于最小点覆盖。

2. 最小点覆盖集

给定二分图 \(G=\{V,E\}\) ，若一个点集 \(C\) 满足 \(\forall (u,v)\in E\) ，有 \(u\in C \or v \in C\) 。通俗的说，一个点可以覆盖相邻的边，能覆盖所有边的点集就是点覆盖集。

构造方法：先求出一组最大匹配，从左侧未匹配的点出发 dfs，从左往右只走非匹配边 ，从右往左只走匹配边，最小点覆盖即为 左侧的未访问点+右侧的访问点。

3. 最大独立集

若点集 \(I\) 满足 任意两点不直接相连 ，则称 $I $ 为独立集。

二分图最大独立集 \(=V-\) 最小点覆盖集。

4. 最大团

若 点导出子图 \(G'=\{V',E'\}\) 满足 \(\forall u,v\in V',u\in V_1,v\in V_2\) ，均有 \((u,v)\in E'\) 。则称 \(G'\) 为 \(G\) 的最大团。

二分图最大团等于 补图最大独立集 。

平面图

定义

如果图能画在平面上，边之间两两无交（边不能画曲线），则称其为平面图。

\(K_5\) 和 \(K_{3,3}\) 都不是平面图，其中 \(K_5\) 指的是点数为 \(5\) 的平面图，而 \(K_{3,3}\) 指的是两边各有三个点的完全二分图。

判断：若两个图是同构的，或者两个图在不断增加或消去二度顶点后同构，则称两个图是同胚的。

库拉图斯基定理指出：图 \(G\) 是平面图当且仅当不含有与 \(K_5\) 和 \(K_{3,3}\) 同胚的子图。

平面图转对偶图

通俗的讲，对偶图是在平面图上每个封闭图形中放一个节点，节点之间边的·边权即为原图与这条边相交的边权。

例如下图为狼抓兔子一题中的平面图转对偶图。

原题答案为 14，即为切断右下角的三条边：3 6（不清楚） 5。

可以发现，平面图的最小割即为对偶图的最短路。

P7916 [CSP-S 2021] 交通规划

给定一个 \(n*m\) 的网格，但每一条边都是无限长的射线，格点间的小边有边权。\(Q\) 次询问，额外给定 \(k\) 个位于射线上的特殊点，并钦定了他们的颜色。你需要确定中间格点上的颜色，使得代价最小。代价计算的方式为：颜色不同的两个点之间的短边边权之和。颜色只有 0/1。

\(n,m\le 500,\sum k\le 50\)。

一半难度在读题和建对偶图（仅指代码实现）。

对于 \(n\le 100\)，就是裸的集合划分模型，相邻格点之间连双向边，与源点汇点连边权为 0 的边。钦定颜色的格点只能连源点/汇点。问题转换为（非平面图）求最小割。

考虑 \(k=2\) 的做法，如果颜色相同，那么全部染为相同的颜色，代价为 \(0\)，否则，问题转换为狼追兔子。平面图最小割转换为对偶图最短路即可。

考虑从 \(k=2\) 的做法启发正解，首先显然的是，相邻两个颜色相同的特殊点可以合并处理，因为他们中间一定不存在割。那这样特判掉只有一种颜色的特殊情节，外面的特殊点会围成一个长度为偶数，黑白颜色交替的环。

因为外面的点很少，只有 \(k\le 50\)，所以我们完全可以跑 \(k\) 次最短路，求出从每个点出发跑对偶图得到的最小割，即对 \(\binom{k}{2}\) 种不同情况做 \(k=2\)。

考虑最终的匹配结果，即割的形状，可以发现割一定不交，否则可以看做“碰头再返回”。因此最终的匹配是类括号序列的形式，区间 dp 即可求解。复杂度 \(O(\sum k \times nm\log +\sum k^3)\)。

太难写了！