决策论——决策模型三要素精解

运筹学中的决策论主要针对不确定环境下的决策问题，提供数学化和系统化的工具，帮助决策者在复杂情境中选择最优方案。相比一般的决策分析，运筹学更注重定量分析，借助模型、损益表等工具，将不确定性和风险因素纳入考虑。决策模式可以分为确定性、风险性和不确定性三种，每种模式都有相应的分析方法和准则。决策模式或决策模型具体都可用损益表表示出来，其用于系统化展示各方案在不同自然状态下的预期损益，结合决策准则（如期望收益、Maximin、Minimax后悔值等），为决策者提供依据。此外，决策树等工具通过分阶段分析，为多阶段复杂决策提供了清晰的路径。这些方法广泛应用于供应链管理、项目管理和金融投资等领域，帮助优化资源配置、降低风险，实现目标最大化。

损益表	决策树

一、决策论概述

决策是一项复杂的活动，依据所研究问题要达到的目标，按照一定的数量准则对可选方案进行比较和选择。决策问题是由决策者和决策域构成的，决策者是决策的主体是决策的主观因素，鉴于管理科学致力于提供一个决策支持的框架，因而这里主要讨论决策的结构或模式，即讨论决策域三要素——决策空间、状态空间和损益函数。

1.1 决策模型和结构

基于决策理论和运筹学的相关内容，决策分析主要包含方案集(决策空间)、状态集(状态空间)和损益矩阵(损益函数)三个基本要素，辅以对状态概率和结果的估计及分析，帮助决策者做出科学决策。

• 方案集
  方案集是决策分析中的一个核心要素，指的是在决策过程中所有可能的行动方案或策略集合。每个方案代表着一种可能的决策路径，决策者需要根据方案的执行难度、潜在收益以及对目标的实现可能性，选择适合的方案。在设计方案时，决策者需要考虑外部环境和内部资源的约束条件。例如，企业在制定市场战略时，可能需要设计多种备选方案，如扩大市场、开发新产品或通过成本控制实现利润最大化。每个方案的优劣需要结合自然状态的变化进行综合评估。
• 状态集
  状态集是另一个重要的要素，代表着每个方案在实际执行中可能遇到的自然状态或外部环境条件。不同的状态对应不同的外部情境，这些情境可能对方案的结果产生积极或消极的影响。在实际决策中，状态可能包括市场变化、经济环境、竞争对手的反应、政策变化等。决策者需要尽可能准确地识别这些状态，并通过历史数据或专家分析，判断每个状态发生的概率。这些状态的发生往往是随机的，因此状态概率的主观性很强，但它们对最终决策的成败起着关键作用。
• 损益矩阵
  损益矩阵是用来量化表示每个方案在不同状态下可能产生的收益或损失。矩阵中的每个元素\(u\_{ij}\)代表方案\(d\_j\)在状态\(\theta_i\)下的效益或成本。损益矩阵是决策分析中不可或缺的工具，它能够帮助决策者直观地比较不同方案在各种状态下的表现。通过对各方案的收益和成本进行定量分析，决策者可以更清楚地看到每个方案的预期收益以及潜在的风险。例如，在金融投资中，投资者可能通过损益矩阵分析不同投资组合在各种市场条件下的表现，从而选择预期收益最高、风险最小的投资方案。

将上面要素集成就得到下面的决策模型，给出了决策的结构和体系：

状态	状态 1	状态 2	...	状态 n
方案	\(P(\theta_1)\)	\(P(\theta_2)\)	...	\(P(\theta_n)\)
\(d_1\)	\(u_{11}\)	\(u_{12}\)	...	\(u_{1n}\)
\(d_2\)	\(u_{21}\)	\(u_{22}\)	...	\(u_{2n}\)
...	...	...	...	...
\(d_m\)	\(u_{m1}\)	\(u_{m2}\)		\(u_{mn}\)

例1：某公司产品线扩展决策分析，经过研发部门的头脑风暴，得到如下决策要素和模型。

• 方案集
  方案集包含三个备选方案：方案 1（\(d_1\)）：推出高端产品；方案 2（\(d_2\)）：推出中端产品；方案 3（\(d_3\)）：维持现有产品线，不进行扩展。每个方案都代表不同的市场策略，决策者需要选择一个能够在不确定市场条件下带来最佳收益的方案。

• 状态集
  状态集反映了市场未来可能的状态。在此案例中，市场可能会有以下三种状态：市场繁荣（\(\theta_1\)）：消费者对新产品有强烈需求，销售情况良好；市场平稳（\(\theta_2\)）：市场需求一般，销售平稳；市场低迷（\(\theta_3\)）：市场需求疲软，新产品可能销量不佳甚至亏损。我们可以根据市场调研和历史数据估计出每个状态发生的概率：

  • \(P(\theta_1) = 0.4\)（市场繁荣的概率为40%）
  • \(P(\theta_2) = 0.4\)（市场平稳的概率为40%）
  • \(P(\theta_3) = 0.2\)（市场低迷的概率为20%）

• 损益矩阵
  通过构建损益矩阵，表示每个方案在不同市场状态下的收益或损失。假设企业根据财务预测，得出了以下损益数据（以百万为单位）：

方案 / 状态	\(\theta_1\)（市场繁荣）	\(\theta_2\)（市场平稳）	\(\theta_3\)（市场低迷）
\(d_1\)（推出高端产品）	25	10	-15
\(d_2\)（推出中端产品）	20	15	-5
\(d_3\)（维持现有产品线）	10	6	4

• 分析与决策
  我们使用期望值准则来评估每个方案的期望收益。通过将每个市场状态的概率与相应的收益相乘，并对其进行加总，我们可以计算每个方案的期望收益。
  • 方案 \(d_1\)（推出高端产品）的期望收益：

\[E(d_1) = P(\theta_1) \cdot u_{11} + P(\theta_2) \cdot u_{12} + P(\theta_3) \cdot u_{13} \]

\[E(d_1) = 0.4 \cdot 25 + 0.4 \cdot 10 + 0.2 \cdot (-15) \]

\[E(d_1) = 10 + 4 - 3 = 11 \]

• 方案 \(d_2\)（推出中端产品）的期望收益：

\[E(d_2) = P(\theta_1) \cdot u_{21} + P(\theta_2) \cdot u_{22} + P(\theta_3) \cdot u_{23} \]

\[E(d_2) = 0.4 \cdot 20 + 0.4 \cdot 15 + 0.2 \cdot (-5) \]

\[E(d_2) = 8 + 6 - 1 = 13 \]

• 方案 \(d_3\)（维持现有产品线）的期望收益：

\[E(d_3) = P(\theta_1) \cdot u_{31} + P(\theta_2) \cdot u_{32} + P(\theta_3) \cdot u_{33} \]

\[E(d_3) = 0.4 \cdot 10 + 0.4 \cdot 6 + 0.2 \cdot 4 \]

\[E(d_3) = 4 + 2.4 + 0.8 = 7.2 \]

• 决策选择
  通过计算期望收益，我们得到以下结果：

  • 方案 \(d_1\)（推出高端产品）的期望收益为 11
  • 方案 \(d_2\)（推出中端产品）的期望收益为 13
  • 方案 \(d_3\)（维持现有产品线）的期望收益为 7.2
    根据期望值准则，方案 \(d_2\)（推出中端产品）的期望收益最高，为13。因此，企业应该选择推出中端产品的方案。

• 风险考虑
  虽然期望收益为企业提供了量化的决策依据，但需要注意的是，风险也是决策中必须考虑的因素。方案 \(d_1\) 在市场繁荣时收益最高，但市场低迷时会带来较大损失（-15百万）。相比之下，方案 \(d_2\) 的损失较小（-5百万），并且其在市场平稳状态下的收益最高。因此，如果决策者对风险较为敏感，他们可能更倾向于选择 \(d_2\) 而非 \(d_1\)。此外，方案 \(d_3\) 虽然期望收益最低（7.2），但它在所有市场状态下都是正收益，是风险最小的选择。如果决策者极度厌恶风险，他们可能会选择这个更为保守的方案。

在这个三方案的案例中，通过构建方案集、状态集和损益矩阵，我们系统地分析了不同市场条件下的方案收益。通过使用期望值准则，我们得出推出中端产品（方案 \(d_2\)）是最优选择。与此同时，决策者还需结合市场的不确定性和自身的风险承受能力，综合考虑不同方案的潜在风险和收益。这种决策分析方法能够帮助企业在不确定环境下作出更加科学、理性的决策，从而提高决策成功的可能性。

二、决策准则

决策准则是决策论中的核心概念之一，指的是在不同自然状态下如何选择最佳决策方案的标准和依据。不同的准则适用于不同的决策环境，根据决策者对不确定性、风险的态度，以及对未来结果的预期，采取不同的决策准则可以得到不同的方案选择结果。几种常见的决策准则：期望值准则；最大概率准则；乐观准则；悲观准则；最小最大后悔准则； 等可能性准则；其他一些常见准则。

2.1 期望值准则

期望值准则（Expected Value Criterion）是最常用的决策准则之一，适用于有明确概率分布的决策问题，是平均大数意义上的准则，也是用的最多的准则。该准则基于每个决策方案在不同自然状态下的收益或损失，结合每个状态发生的概率，计算出每个方案的期望收益。决策者选择期望收益最高的方案作为最佳决策。

公式：

\[E(d_j) = \sum_{i=1}^{n} P(\theta_i) \cdot u_{ij} \]

其中，\(E(d_j)\)表示决策方案\(d_j\)的期望收益，\(P(\theta_i)\)是状态\(\theta_i\)的概率，\(u_{ij}\)是在状态\(\theta_i\)下，方案\(d_j\)所产生的收益或损失。

2.2 最大概率准则

最大概率准则（Maximax Criterion）是一种乐观决策准则，适用于决策者倾向于认为最有利的结果将会发生的情形。该准则假设每个方案都会遇到最有利的自然状态，因此在每个方案中选择最高的收益值。

公式：

\[\max u_{ij} \]

2.3 悲观准则（最小最大准则）

悲观准则（Minimax Criterion）适用于那些风险厌恶型的决策者。该准则假设最不利的情况将会发生，因此决策者需要在最差的情况下选择最小的损失，最大化最低收益。

公式：

\[\max \min u_{ij} \]

2.4 等可能性准则

等可能性准则（Laplace Criterion）假设决策者对自然状态的发生概率一无所知，因此认为所有自然状态的发生概率是相等的。在这种情况下，决策者会计算每个方案的平均收益，选择平均值最高的方案。

公式：

\[E(d_j) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} u_{ij} \]

2.5 赫尔维茨准则

赫尔维茨准则（Hurwicz Criterion）介于乐观和悲观之间，决策者根据自己的乐观系数 ( \alpha ) 来平衡乐观和悲观两种极端情况。

公式：

\[u_j = \alpha \cdot \max u_{ij} + (1-\alpha) \cdot \min u_{ij} \]

在不确定环境下，决策准则为决策者提供了多种选择路径，从风险厌恶的悲观准则到极端风险偏好的最大最大准则，每种方法都有其适用的情境。期望值准则是最为常见的定量分析方法，适用于风险中性或倾向于风险的决策者。悲观准则和最小最大损失准则适合那些无法承受巨大损失的决策者，而最大概率准则和赫尔维茨准则则为决策者提供了在乐观与悲观之间的灵活平衡。通过结合不同的准则，决策者可以更全面地评估风险，并作出更加理性和稳健的决策。

三、决策理论的最新进展

在决策理论的发展过程中，理性决策被视为人类在不确定环境下做出选择的一种标准。理性决策理论的核心在于人们会依据可用信息和逻辑推理，选择能够最大化个人利益或收益的方案。随着运筹学、概率论和经济学的发展，期望值准则逐渐成为衡量理性决策的重要工具之一。

3.1 期望值准则与应用

期望值准则（Expected Value Criterion）是一种用来评价和选择在不确定环境下的决策方案的标准。其基本思想是：在不同的自然状态下，每个决策方案都有相应的结果，这些结果对应着一定的收益或损失。而自然状态的发生概率往往是不确定的或是可以通过统计方法估计的。因此，期望值准则通过计算各方案在不同自然状态下的期望收益，帮助决策者选出期望值最高的方案。

具体而言，期望值的计算公式为：

\[E(A) = p_1 \cdot u_1 + p_2 \cdot u_2 + \dots + p_n \cdot u_n \]

其中，\(E(A)\)表示决策方案A的期望值，\(\pi_i​\) 表示自然状态\(S_i\)的发生概率，\(u_i\)表示方案A在自然状态\(S_i\)下的收益或损失。
期望值准则的应用十分广泛，尤其在风险管理、投资决策等领域。通过量化各可能结果的收益与其发生概率，期望值准则帮助决策者进行理性选择。在投资领域，投资者通常选择期望收益最高的投资组合，而在运营管理中，企业也常通过期望值分析，选择最具成本效益的方案。

3.2 阿莱悖论与理性决策的挑战

尽管期望值准则在理论上是理性决策的基础，但在实际应用中，人的决策行为往往并不符合期望值最大化原则。阿莱悖论（Allais Paradox）是对期望值准则和传统理性决策理论提出挑战的一个经典案例。它展示了在实际情境中，人们的选择有时会违背期望值准则，引出了风险的确定性价值，可参看博弈论有关内容。
阿莱悖论由法国经济学家莫里斯·阿莱（Maurice Allais）于1953年提出，通过两个简单的选择问题，揭示了人们的行为偏好与期望值最大化原则的矛盾：

第一组选择问题：

• 选择1A：你有100%的概率获得100万美元。
• 选择1B：你有10%的概率获得500万美元，89%的概率获得100万美元，1%的概率获得0美元。
  在这个情境下，许多人选择了1A，即确定获得100万美元，而不是选择1B尽管期望值更高。这表明人们在面对确定性时倾向于选择安全的选项。

第二组选择问题：

• 选择2A：你有11%的概率获得100万美元，89%的概率获得0美元。
• 选择2B：你有10%的概率获得500万美元，90%的概率获得0美元。
  在这个情境下，许多人选择了2B，即愿意承担更高风险以获取更大收益。

这两个问题展示了一个矛盾：根据期望值准则，选择1B和2B应该是相同的逻辑决策，因为两者的结构类似。然而，大多数人却在不同情境下表现出不同的偏好。这种行为偏差表明，决策者并非总是遵循期望值准则，而是受到其他心理因素的影响。阿莱悖论揭示了人们在面对风险时的非理性行为，强调了心理期望、风险规避和不确定性对决策的影响。这一悖论为后来的行为经济学奠定了基础，进一步挑战了传统的理性决策理论。

3.3 行为经济学与理性决策的拓展

阿莱悖论是众多行为经济学研究的一个典型例子，揭示了人类在面对不确定性时的偏好与期望值准则的冲突。行为经济学对传统的理性决策理论提出了修正，认为人类的决策行为不仅仅由利益最大化驱动，还受到心理因素、认知偏差、社会环境等多重因素的影响。
前景理论（Prospect Theory）是行为经济学的重要成果之一，由丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman）和阿摩斯·特沃斯基（Amos Tversky）提出。前景理论针对传统期望效用理论进行了修正，认为人们在面对风险和不确定性时的决策行为可以归结为以下几个特点：

参考点效应：人们的决策常常以某个参考点为基础，而不是单纯看最终结果。损失相对于参考点的影响远大于同等幅度的收益。
损失厌恶：人们对于损失的敏感度要高于对收益的敏感度，即相较于获得收益，避免损失对人们的决策影响更大。
非线性概率权重：人们对极端事件的概率（如非常小或非常大的概率）有放大的倾向，而对中间概率的事件则容易忽视。

前景理论通过对人类决策行为的更细致刻画，解释了阿莱悖论等现象背后的心理机制。与期望值准则相比，前景理论提供了一个更加符合人类实际决策行为的模型，进一步丰富了理性决策的定义。

3.4 理性决策的发展趋势

随着行为经济学的深入发展，理性决策的概念也得到了拓展。传统的理性决策理论将理性等同于期望值最大化和利益最大化，而现代决策理论则强调决策者的认知能力、心理倾向和外部环境对决策行为的影响。理性不再被严格定义为数学意义上的最优决策，而是结合了人类行为的复杂性与多样性。
在实践中，理性决策被视为一种平衡，即在考虑风险、收益和个人偏好的前提下，做出最符合自身目标的选择。例如，在金融领域，投资者可能并不总是选择期望收益最高的投资标的，而是会根据自己的风险承受能力和对不确定性的偏好，选择更符合自身需求的方案。
未来，理性决策理论的研究将继续向跨学科的方向发展，结合心理学、神经科学、社会学等领域，进一步揭示人类决策行为的本质。计算机科学和人工智能的进步，也为理性决策提供了更多的工具和模型，使得复杂决策问题能够通过更先进的算法和技术得以解决。

总结

决策分析是解决复杂问题的核心方法，而运筹学决策论则为决策分析提供了理论支持和实用工具。从确定性决策到不确定性决策，运筹学为不同环境下的决策提供了标准化的分析模式，损益表、决策准则、决策树等工具为决策者提供了有效的决策依据。无论是在商业管理、项目规划还是金融投资等领域，运筹学的决策方法都发挥着重要作用，帮助决策者在不确定和复杂的环境中找到最优解决方案。这种方法不仅仅是数学工具的应用，更是科学思维方式的体现，通过系统化和定量化的分析，使得复杂的决策问题得以优化和简化。

参考资料

1. 运筹学_8.决策论
2. 用人话讲运筹学】二十、决策准则
3. 统计与运筹优化（6）-决策分析