- 一、隐函数求导
- 二、由参数方程所确定的函数的导数
- 三、相关变化率
一、隐函数求导
函数 \(y = f(x)\) 表示两个变量 \(y\) 与 \(x\) 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达，例如 \(y = \sin x\) ，\(y = \ln x + \sqrt{1 - x^2}\) 等。这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程
\[x + y^3 - 1 = 0
\]
表示一个函数，因为当变量 \(x\) 在 \((- \infty, \infty)\) 内取值时，变量 \(y\) 有确定的值与之对应。例如，当 \(x = 0\) 时，\(y = 1\) ；当 \(x = -1\) 时，\(y = \sqrt[3]{2}\) ，等等。这样的函数称为隐函数。
一般地，如果变量 \(x\) 和 \(y\) 满足一个方程 \(F(x, y) = 0\) ，在一定条件下，当 \(x\) 取某区间内任一值时，相应地总有满足这一方程的唯一的 \(y\) 值存在，那么就说方程 \(F(x, y) = 0\) 在该区间内确定了一个隐函数。
把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程 \(x + y^3 - 1= 0\) 解出 \(y = \sqrt[3]{1 - x}\) ，就把隐函数化成了显函数。隐函数显化有时是困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数。下面通过具体例子来说明这种方法。
例1 求由方程 \(\mathrm{e}^y + x y - \mathrm{e} = 0\) 所确定的隐函数的导数 \(\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) .
解：我们把方程两端分别对 \(x\) 求导，注意 \(y = y(x)\) 。方程左端对 \(x\) 求导得
\[\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\mathrm{e}^y + x y - \mathrm{e}) = \mathrm{e}^y \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y + x \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} ,
\]
方程右端对 \(x\) 求导得
\[(0)' = 0.
\]
由于等式两端对 \(x\) 的导数相等，所以
\[\mathrm{e}^y \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y + x \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0,
\]
从而
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \cfrac{y}{x + \mathrm{e}^y} \quad (x + \mathrm{e}^y \neq 0)
\]
在这个结果中，分式中的 \(y = y(x)\) 是由方程 \(\mathrm{e}^y + x y - \mathrm{e} = 0\) 所确定的隐函数。
例2 求由方程 \(y^5 + 2y - x - 3 x^7 = 0\) 所确定的隐函数在 \(x = 0\) 处的导数 \(\left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 0}\) .
解：把方程两端分别对\(x\) 求导，由于方程两端的导数相等，所以
\[5y^4 \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 2 \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 1 - 21 x^6 = 0 .
\]
由此得
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{1 + 21 x^6}{5 y^4 + 2} .
\]
因为当 \(x = 0\) 时，从原方程的 \(y = 0\) ，所以
\[\left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 0} = \cfrac{1}{2} .
\]
例3 求椭圆 \(\cfrac{x^2}{16} + \cfrac{y^2}{9} = 1\) 在点 \(\left( 2, \cfrac{3}{2} \sqrt 3 \right)\) 处的切线方程。
解：由导数的几何意义可知，所求切线斜率为
\[k = \left . y' \right|_{x = 2} .
\]
椭圆方程的两端分别对 \(x\) 求导，有
\[\cfrac{x}{8} + \cfrac{2}{9} y \cdot \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 .
\]
从而
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \cfrac{9 x}{16 y} .
\]
当 \(x = 2\) 时，\(y = \cfrac{3}{2} \sqrt 3\) ，代入上式得
\[\left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 2} = - \cfrac{\sqrt 3}{4} .
\]
于是所求切线方程为
\[y - \cfrac{3}{2} \sqrt 3 = - \cfrac{\sqrt 3}{4}(x - 2) ,
\]
即
\[\sqrt 3 x + 4y - 8 \sqrt 3 = 0.
\]
例4 求由方程 \(x - y + \cfrac{1}{2} \sin y = 0\) 所确定的隐函数的二阶导数 \(\cfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}x^2}\) .
解：应用隐函数的求导方法，得
\[1 - \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \cfrac{1}{2} \cos y \cdot \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0
\]
于是
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{2}{2 - \cos y} .
\]
上式两端再对 \(x\) 求导，得
\[\cfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}x^2} = \cfrac{-2 \sin y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{(2 - \cos y)^2} = \cfrac{-4 \sin y}{(2 - \cos y)^3} .
\]
上式右端分式中的 \(y = f(x)\) 是由方程 \(x - y + \cfrac{1}{2} \sin y = 0\) 所确定的隐函数。
在某些场合，利用所谓的对数求导法求导数比通常的方法简便些。这种方法是先在 \(y = f(x)\) 的两端取对数，然后再求出 \(y\) 的导数。
例5 求 \(y = x^{\sin x} (x > 0)\) 的导数。
解：这函数是幂指函数。为了求这个函数的导数，可以先在等式两端取对数，得
\[\ln y = \sin x \cdot \ln x .
\]
上式两端对 \(x\) 求导，注意到 \(y = y(x)\) ，得
\[\cfrac{1}{y} y' = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \cfrac{1}{x} ,
\]
于是
\[y' = y \left( \cos x \cdot \ln x + \cfrac{\sin x}{x} \right) = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \cfrac{\sin x}{x} \right)
\]
对于一般型式的幂指函数
\[y = u^v \quad (u > 0) ,
\]
如果 \(u = u(x)\) ， \(v = v(x)\) 都可导，那么可以像例5那样利用对数求导法求出幂指函数的导数，也可把幂指函数表示为
\[y = \mathrm{e}^{v \ln u} .
\]
这样便可直接求得
\[y' = \mathrm{e}^{v \ln u} \left( v' \cdot \ln u + v \cdot \cfrac{u'}{u} \right) = u^v \left( v' \cdot \ln u + \cfrac{v u'}{u} \right)
\]
例6 求 \(y = \sqrt{\cfrac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x - 4)}}\) 的导数。
解：先在等式两端取对数（假定 \(x > 4\)），得
\[\ln y = \cfrac{1}{2} [\ln(x - 1) + \ln(x - 2) - \ln(x - 3) - \ln(x - 4)] ,
\]
上式两端对 \(x\) 求导，注意到 \(y = y(x)\) ，得，
\[\cfrac{1}{y} y' = \cfrac{1}{2} \left( \cfrac{1}{x - 1} + \cfrac{1}{x - 2} - \cfrac{1}{x - 3} - \cfrac{1}{x - 4} \right)
\]
于是
\[y' = \cfrac{y}{2} \left( \cfrac{1}{x - 1} + \cfrac{1}{x - 2} - \cfrac{1}{x - 3} - \cfrac{1}{x - 4} \right) .
\]
当 \(x < 1\) 时，\(y = \sqrt{\cfrac{(1 - x)(2 - x)}{(3 - x)(4 - x)}}\) ;
当 \(2 < x < 3\) 时，\(y = \sqrt{\cfrac{(x - 1)(x - 2)}{(3 - x)(4 - x)}}\) ,
用同样的方法可得与上面相同的结果。
二、由参数方程所确定的函数的导数
一般地，若参数方程
\[\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}x = \varphi (t) \\y = \psi (t)
\end{array}
\right.
\end{equation}
\]
确定 \(y\) 与 \(x\) 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程 \((1)\) 所确定的函数。
在实际问题中，需要计算由参数方程 \((1)\) 所确定的函数的导数。但从 \((1)\) 中消去参数 \(t\) 有时会有困难。因此，我们希望有一种方法能直接由参数方程 \((1)\) 算出它所确定的函数的导数。
在 \((1)\) 中，如果函数 \(x = \varphi (t)\) 具有单调连续反函数 \(t = \varphi^{-1}(x)\) ，且次反函数能与函数 \(y = \psi (t)\) 构成复合函数，那么由参数方程 \((1)\) 所确定的函数可以看成是由函数 \(y = \psi (t)\) ，\(t = \varphi^{-1}(x)\) 复合而成的函数 \(y = \psi[\varphi^{-1} (x)]\) .现在要计算这个复合函数的导数。为此，再假定函数 \(x = \varphi (t)\) ， \(y = \psi (t)\) 都可导，而且 \(\varphi' (t) \neq 0\) 。于是根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，就有
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \cfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \cfrac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \cfrac{\psi' (t)}{\varphi' (x)} ,
\]
即
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\psi' (t)}{\varphi' (x)} \tag{2}
\]
上式也可以写成
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} .
\]
\((2)\) 式就是由参数方程 \((1)\) 所确定的 \(x\) 的函数的导数公式。
如果 \(x = \varphi (t)\) ， \(y = \psi (t)\) 还是二阶可导的，那么从 \((2)\) 式又可以得到二阶导数公式
\[\cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) = \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \cfrac{\psi' (t)}{\varphi' (t)} \right) \cdot \cfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\psi''(t) \varphi' (t) - \psi' (t) \varphi'' (t)}{\varphi'^2 (t)} \cdot \cfrac{1}{\varphi' (t)} .
\]
即
\[\cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \cfrac{\psi''(t) \varphi' (t) - \psi' (t) \varphi'' (t)}{\varphi'^3 (t)} .
\]
例7 已知椭圆的参数方程为
\[\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}x = a \cos t , \\y = b \sin t ,
\end{array}
\right.
\end{equation*}
\]
求椭圆在 \(t = \cfrac{\pi}{4}\) 相应的点处的切线方程。
解：当 \(t = \cfrac{\pi}{4}\) 时，椭圆上相应的点 \(M_0\) 的坐标是
\[\begin{align*}
x_0 &= a \cos{\cfrac{\pi}{4}} = \cfrac{\sqrt 2 a}{2} , \\
y_0 &= b \sin{\cfrac{\pi}{4}} = \cfrac{\sqrt 2 b}{2} .
\end{align*}
\]
曲线在点 \(M_0\) 的切线斜率为
\[\left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{t = \frac{\pi}{4}} = \left . \cfrac{(b \sin t)'}{(a \cos t)'} \right|_{t = \frac{\pi}{4}} = \left . \cfrac{b \cos t}{-a \sin t} \right|_{t = \frac{\pi}{4}} = - \cfrac{b}{a} .
\]
代入点斜式方程，即得椭圆在点 \(M_0\) 处的切线方程
\[y - \cfrac{\sqrt 2 b}{2} = - \cfrac{b}{a} \left( x - \cfrac{\sqrt 2 a}{2} \right)
\]
化简后得
\[bx + ay - \sqrt2 ab = 0 .
\]
例8 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为
\[\left\{
\begin{align*}
x &= v_1 t, \\
y &= v_2 t - \cfrac{1}{2} \mathrm{g} t^2,
\end{align*}
\right .
\]
求抛射体在时刻 \(t\) 的运动速和方向。
解：先求速度的大小
由于速度的水平分量为
\[\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v_1 ,
\]
铅直分量为
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = v_2 - \mathrm{g}t ,
\]
所以抛射体运动速度大小为
\[v = \sqrt{\left( \cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2} = \sqrt{v_1^2 + (v_2 - \mathrm{g}t)^2} .
\]
再求速度的方向，也就是轨迹的切线方向。
设 \(\alpha\) 是切线的倾角，则根据导数的几何意义，得
\[\tan \alpha = \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \cfrac{v_2 - \mathrm{g}t}{v_1}
\]
在抛射体刚射出 \((即t = 0)\) 时，
\[\left . \tan \alpha \right|_{t = 0} = \left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{t = 0} = \cfrac{v_2}{v_1} ;
\]
当 \(t = \cfrac{v_2}{\mathrm{g}}\) 时，
\[ \left . \tan \alpha \right|_{t = \frac{v_2}{\mathrm{g}}} = \left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{t = \frac{v_2}{\mathrm{g}}} = 0 ,
\]
这时，运动方向是水平的，即抛射体达到最高点。
例9 计算由摆线的参数方程
\[\left \{
\begin{align*}
x &= a (t - \sin t) , \\
y &= a (1 - \cos t)
\end{align*}
\right .
\]
所确定的函数 \(y = y(x)\) 的二阶导数。
解：
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \cfrac{a \sin t}{a(1 - \cos t)} = \cfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot{\cfrac{t}{2}} \quad (t \neq 2n \pi , n \in \mathbb{Z}) .
\]
\[\begin{align*}
\cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} &= \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \cot{\cfrac{t}{2}} \right) \cdot \cfrac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \\
&= - \cfrac{1}{2 \sin^2{\cfrac{t}{2}}} \cdot \cfrac{1}{a (1 - \cos t)} \\
&= - \cfrac{1}{a (1 - \cos t)^2} \quad (t \neq 2n \pi , n \in \mathbb{Z}) .
\end{align*}
\]
三、相关变化率
设 \(x = x(t)\) 及 \(y = y(t)\) 都是可导函数，而变量 \(x\) 与 \(y\) 间存在某种关系，从而变化率 \(\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\) 与 \(\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\) 间也存在一定关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率。
例10 一气球从离开观察员 \(500 \mathrm{m}\) 处离地面铅直上升，当气球高度为 \(500 \mathrm{m}\) 时，其速率为 \(140 \mathrm{m}/\mathrm{min}\) （米/分）。求此时观察员视线的仰角增加的速率是多少？
解：设气球上升 \(t\) \(s\)（秒）后，其高度为 \(h\) ，观察员视线的仰角为 \(\alpha\) ，则
\[\tan \alpha = \cfrac{h}{500} ,
\]
其中 \(\alpha\) 及 \(h\) 都与 \(t\) 存在可导的函数关系。上式两边对 \(t\) 求导，得
\[\sec^2 \alpha \cdot \cfrac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d}t} = \cfrac{1}{500} \cdot \cfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} .
\]
由已知条件，存在 \(t_0\) 使 \(\left . h \right|_{t = t_0} = 500 \mathrm{m}\) ， \(\left . \cfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} \right|_{t = t_0} = 140 \mathrm{m}/\mathrm{min}\) .又 \(\left . \tan \alpha \right|_{t = t_0} = 1\) ，\(\left . \sec^2 \alpha \right|_{t = t_0} = 2\) ，代入上式得
\[\left . 2 \cfrac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d}t} \right|_{t = t_0} = \cfrac{1}{500} \cdot 140 ,
\]
所以
\[\left . \cfrac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d}t} \right|_{t = t_0} = \cfrac{70}{500} = 0.14 .
\]
即此时观察员视线的仰角增加的速率为 \(0.14 \mathrm{rad}/\mathrm{min}\) （弧度/分）。
