牛客练习赛128补题

A. Cidoai的幂次序列

思路

思维题
题面看着复杂，但只需输出 \(n-1\) 和 \(1\) 即可。

代码

#include <iostream>using namespace std;typedef long long ll;ll n, k;int main()
{cin >> n >> k;cout << 2 << '\n';cout << n - 1 << ' ' << 1;return 0;
}

B. Cidoai的平均数对

思路

01背包

根据题意有

\[\frac {\sum_{i=1}^n b_i}{n} \le k \]

将 \(n\) 移到右边

\[\sum_{i=1}^n b_i \le n*k \]

再将 \(n * k\) 移到左边

\[\sum_{i=1}^n b_i - n * k \le 0 \]

将 \(k\) 放入 \(b_i\) 求和的式子中

\[\sum_{i=1}^n (b_i - k) \le 0 \]

所以要满足最终和小于等于0，可以将所有\(b_i-k\)，显然结果为负数的一定可选，结果为正数的可选可不选，这样就转为一个典型的01背包问题，我先将结果为负的都选上求和为背包容量，结果为正的作为体积，对应的\(a_i\)为价值。

代码

#include <iostream>using namespace std;const int N = 500 + 10, M = N * N;int n, k, sum;
int a[N], b[N];
int dp[M];int main()
{cin >> n >> k;for (int i = 1; i <= n; i ++){cin >> a[i] >> b[i];b[i] -= k;if (b[i] < 0) {sum -= b[i];b[i] = 0;}}for (int i = 1; i <= n; i ++)for (int j = sum; j >= b[i]; j --)dp[j] = max(dp[j], dp[j - b[i]] + a[i]);cout << dp[sum];return 0;
}

C. Cidoai的树上方案

思路

树形dp模板

简单图就是不含自环和重边的图。
树外一个点连接树内任意点，求不构成三元环的方案数。可以知道构成三元环，除树外的点与树内两个点相连，还有一个条件是树内两个点要相连，即相邻的两个点，由此题目转为，找不相邻的任意个点的方案数，就是一个树形dp的模板了。

代码

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;typedef long long ll;const int mod = 998244353;
const int N = 2e6 + 10;int n;
vector<int> g[N];
ll dp[N][2];void dfs(int u)
{dp[u][0] = dp[u][1] = 1;for (int v : g[u]){dfs(v);dp[u][0] = dp[u][0] * (dp[v][0] + dp[v][1]) % mod;dp[u][1] = dp[u][1] * dp[v][0] % mod;}
}int main()
{cin >> n;for (int i = 2; i <= n; i ++){int x;cin >> x;g[x].push_back(i);}dfs(1);cout << (dp[1][0] + dp[1][1]) % mod;return 0;
}

D. Cidoai的字符集合

思路

并查集模板

题目是求两个分类的总和，一个是有歌曲是相似的集合数1加上独立歌曲的数量n。
用map记录一下每个旋律对应哪首歌，快速判断这首歌是不是可能相似了，再用并查集找出相似的两首歌，将相似的两首歌放入集合0中。最后枚举一下0~n首歌，它父节点是它本身的数量就是答案。

代码

#include <iostream>
#include <unordered_map>using namespace std;const int N = 1e6 + 10;int n;
unordered_map<string, int> mp;
int p[N];int find(int x)
{if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);return p[x];
}int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;for (int i = 1; i <= n; i ++){int k;cin >> k;while (k --){string s;cin >> s;if (mp.count(s)) {int pi = find(i), ps = find(mp[s]);if (pi == ps) continue;p[pi] = 0;p[ps] = 0;}else mp[s] = i;}}int res = 0;for (int i = 0; i <= n; i ++)if (p[i] == i) res ++;cout << res;return 0;
}

E. Cidoai的映射数列

矩阵快速幂优化状态压缩，听牛客官方补的题。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 128;
const int mod = 998244353;struct Matrix {int n, m;ll mat[N][N];Matrix() {}Matrix(int _n, int _m): n(_n), m(_m) {}Matrix(int _n, int _m, bool flag) : n(_n), m(_m) {memset(mat, 0, sizeof mat);if (flag) for (int i = 0; i < n; i ++) mat[i][i] = 1;}Matrix(int k) {n = m = 1 << k;memset(mat, 0, sizeof mat);for (int st = 0; st < n; st ++){mat[st][st >> 1] = 1;if (st & 1) continue;for (int i = 0; i < k; i ++)mat[st][(st >> 1) | (1 << i)] = 1;}}friend inline Matrix operator * (Matrix x, Matrix y) {Matrix tmp = Matrix(x.n, y.m, 0);for (int i = 0; i < tmp.n; i ++)for (int k = 0; k < x.m; k ++) {if (x.mat[i][k]) {for (int j = 0; j < tmp.m; j ++)tmp.mat[i][j] = (tmp.mat[i][j] + x.mat[i][k] * y.mat[k][j] % mod) % mod; }}return tmp;}
} f[N >> 4][N >> 1];void init()
{for (int k = 0; k <= 7; k ++){f[k][1] = Matrix(k);for (int i = 2; i <= 60; i ++)f[k][i] = f[k][i - 1] * f[k][i - 1];}
}void solve()
{ll n, k;cin >> n >> k;k = min(n, k);Matrix ans = Matrix(1, 1 << k, 0);ans.mat[0][0] = 1;for (ll i = 1, j = 1; j <= n; i ++, j <<= 1)if (n & j) ans = ans * f[k][i];cout << ans.mat[0][0] << '\n';
}int main()
{   ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);init();int t;cin >> t;while (t --) solve();return 0;
}

F. Cidoai的数论求和

这个也是看官方题解补的，一堆数学公式，推公式+莫比乌斯反演。

代码

#include <iostream>
#include <cmath>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 4e6 + 10;int prime[N], mu[N], cnt;
bool st[N];
ll n;void get_mu(int n)
{mu[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i ++){if (!st[i]) {prime[++ cnt] = i;mu[i] = -1;}for (int j = 1; prime[j] <= n / i; j ++){st[i * prime[j]] = 1;if (i % prime[j] == 0) {mu[i * prime[j]] = 0;break;}mu[i * prime[j]] = -mu[i];}}
}int main()
{get_mu(N - 1);cin >> n;ll res= 0;ll m = sqrtl(n);for (ll i = 1; i <= m; i ++){ll d = sqrtl(n / i / i / 2);res += mu[i] * d * d;}for (ll i = 1; i <= m; i ++){ll t = n / i / i;ll u = sqrtl(t);ll d = sqrtl(t / 2);ll sum = 0;for (ll j = d + 1, ne; j <= u; j = ne + 1){ne = t / (t / j);ne = min(ne, u);sum += t / j * (ne - j + 1);sum -= (ne - j + 1) * (j + ne) / 2;}res += mu[i] * sum * 2;}cout << res;return 0;
}