第一章 多元函数的极限与连续

一、平面点集

坐标平面上满足某种条件\(P\) 的点的集合成为平面点集，记作

\[E=\{(x, y)\ |\ (x,y)\ 满足条件\ P\}. \]

例如 全平面上的点所组成的点集是

\[\mathbb{R}^2 = \{(x,y)\ |\ -\infty <x<+\infty ,-\infty<y<+\infty\}. \]

集合

\[S=\{(x,y)\ |\ a \le x\le b,c\le y\le d\ \}. \]

则为一矩阵及其内部所有点的全体, 通常也记作 \([a,b]\times[c,d]\).

---

平面点集

\[\{(x,y)\ |\ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2<\delta^2\ \} \]

与

\[\{(x,y)\ |\ |x-x_0|<\delta, |y-y_0|<\delta\ \} \]

分别称为以点\(A(x_0,y_0)\)为中心的 \(\delta\) 圆邻域 与 \(\delta\) 方邻域.
二者统称为"点 \(A\) 的 \(\delta\) 邻域" 或 "点 \(A\) 的邻域", 记作 \(U(A;\delta )\) 或 \(U(A)\).

点 \(A\) 的空心邻域是指

\[\{(x,y)\ |\ 0<(x-x_0)^2+(y-y_0)^2<\delta ^2\ \} \]

或

\[\{(x,y)\ |\ |x-x_0|<\delta, |y-y_0|<\delta, (x,y) \ne(x_0,y_0)\ \} \]

并用记号 \(U^\circ(A;\delta)\) 或 \(U^\circ(A)\) 来表示.

---

任意一点 \(A\in \mathbb{R}^2\) 与任意点集 \(E\subset \mathbb{R}^2\) 必定存在以下三种关系:

1. 内点: \(\exists U(A)\) s.t. \(U(A) \subset E\). 则 \(A\) 为内点.
2. 外点: \(\exists U(A)\) s.t. \(U(A) \cap E = \varnothing\). 则 \(A\) 为外点.
3. 界点: \(\forall \delta >0\) 恒有 \(U(A;\delta) \cap E \ne \varnothing\) 且 \(U(A;\delta) \cap E^c \ne \varnothing\). 则 \(A\) 为界点.
   其中 \(E^c=\mathbb{R}^2\setminus E\) 是 \(E\) 关于全平面的余集.
   \(E\) 的全体界点构成 \(E\) 的边界, 记作 \(\partial E\).
   \(E\) 的内点必定属于 \(E\), \(E\) 的外点必定不属于 \(E\), \(E\) 的界点可能属于 \(E\) , 也可能不属于 \(E\).

按在点 \(A\) 的近旁是否密集着 \(E\) 中无穷个点而构成另一类关系:

1. 聚点: \(\forall U(A)\) 有 \(U^\circ (A) \cap E \ne \varnothing\). 聚点可能属于 \(E\) , 也可能不属于 \(E\).
2. 孤立点; 若 \(A\in E\) 且 \(\exists \delta > 0\) s.t. \(U^\circ(A;\delta) \cap E = \varnothing\), 则 \(A\) 是 \(E\) 的孤立点.
   孤立点一定是界点,
   内点和非孤立点的界点一定是聚点,
   既不是聚点, 又不是孤立点, 则必为外点.

---

定义一些重要的平面点集:

1. 开集 -- 若平面点集中每一点都是 \(E\) 的内点( 即 \(int E = E\) ), 则称 \(E\) 为开集.
2. 闭集 -- 若平面点集 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\) , 则称 \(E\) 为闭集. 若点集 \(E\) 没有聚点, 这时也称 \(E\) 为闭集.
   根据定义, 点集 \(\mathbb{R}^2\) 既是开集又是闭集. 我们约定空集 \(\varnothing\) 既是开集又是闭集.
   可以证明, 在一切平面点集中, 只有 \(\mathbb{R}^2\) 与 \(\varnothing\) 是即开又闭的点集.
3. 开域 -- 若非空开集 \(E\) 具有连通性, 即 \(E\) 中任意两点之间都可用一条完全含于 \(E\) 的有限折线相连接, 则称 \(E\) 为开域( 即开域就是非空连通开集 ).
4. 闭域 -- 开域连同其边界所成的点集称为闭域.
5. 区域 -- 开域, 闭域, 或者开域连同其一部分界点所称的点集, 统称为区域.
   例如

\[E=\{(x,y)\ |\ xy>0\} \]

虽然是开集, 但因 \(Ⅰ\) , \(Ⅲ\) 象限之间不具有连通性, 所以它不是开域, 也不是区域.
6. 有界点集 -- 对于平面点集 \(E\) , 若 \(\exists r>0\) s.t. \(E \subset U(O;r)\) , 其中 \(O\) 是坐标原点(也可以是其他固定点), 则称 \(E\) 是有界点集.
\(E\) 为有界点集的另一种等价说法: 存在矩形区域 \(D=[a,b]\times [c,d] \supset E\).
定义点集 \(E\) 的直径为

\[d(E)=\underset{P_1, P2\in E}{sup} \ \ \ \rho(P_1, P_2) \]

其中 \(\rho(P_1,P_2)\) 表示 \(P_1\) 与 \(P_2\) 两点之间的距离.

---

例题: 证明: \(\forall S \subset \mathbb{R}^2\), \(\partial S\) 恒为闭集.

证:
设 \(x_0\) 为 \(\partial S\) 的任一聚点, 要证 \(x_0 \in \partial S\).
\(\forall \varepsilon >0\) , 存在 \(y\in U^\circ (x_0;\varepsilon)\cap \partial S\).
又 \(y\) 是 \(S\) 的界点, 所以 \(\forall U(y;\delta )\subset U(x_0;\varepsilon )\), \(U(y;\delta)\) 上既有 \(S\) 的点, 又有非 \(S\) 的点.
于是 \(U(x_0; \varepsilon)\) 上也既有 \(S\) 的点, 又有非 \(S\) 的点, 由 \(\varepsilon\) 的任意性, 推知 \(x_0\) 是 \(S\) 的界点
证毕.

---