泰勒（Taylor）中值定理1 如果函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有 \(n\) 阶导数，那么存在 \(x_0\) 的一个邻域，对于该领域内的任一 \(x\) ，有
\[f(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + \cfrac{f^{''}(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x) , \tag{1}
\]
其中
\[R_n(x) = o((x - x_0)^n). \tag{2}
\]
公式 \((1)\) 称为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处（或按 \(x - x_0\) 的幂展开）的带有佩亚诺（Peano）余项的 \(n\) 阶泰勒公式，而 \(R_n(x)\) 的表达式 \((2)\) 称为佩亚诺余项，它就是用 \(n\) 次泰勒多项式来近似表达 \(f(x)\) 所产生的误差，这一误差是当 \(x \to x_0\) 时比 \((x - x_0)^n\) 高阶的无穷小，但不能由它具体估算出误差的大小。
泰勒中值定理2 如果函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个邻域 \(U(x_0)\) 内具有 \(n + 1\) 阶导数，那么对任一 \(x \in U(x_0)\) ，有
\[f(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + \cfrac{f^{''}(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x) , \tag{3}
\]
其中
\[R_n(x) = \cfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1} \tag{4}
\]
公式 \((3)\) 称为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处（或按 \(x - x_0\) 的幂展开）的带有拉格朗日余项的 \(n\) 阶泰勒公式，而 \(R_n(x)\) 的表达式 \((4)\) 称为拉格朗日余项。
当 \(n = 0\) 时，泰勒公式 \((3)\) 变成拉格朗日中值公式
\[f(x) = f(x_0) + f^{'}(\xi) (x - x_0) \quad (\xi 在 x_0 与 x 之间)
\]
因此，泰勒中值定理2是拉格朗日中值定理的推广。
由泰勒中值定理2可知，以多项式 \(p_n(x)\) 近似表达函数 \(f(x)\) 时，其误差为 \(|R_n(x)|\) 。如果对于某个固定的 \(n\) ，当 \(x \in U(x_0)\) 时， \(|f^{(n + 1)}(x)| \leqslant M\) ，那么有估计式
\[|R_n (x)| = \left| \cfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1} \right| \leqslant \cfrac{M}{(n + 1)!} |x - x_0|^{n + 1} \tag{5}
\]
在泰勒公式 \((1)\) 中，如果取 \(x_0 = 0\) ，那么带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
\[f(x) = f(0) + f^{'}(0)x + \cfrac{f^{''}(0)}{2!}x^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) . \tag{6}
\]
在泰勒公式 \((3)\) 中，如果取 \(x = 0\) ，那么 \(\xi\) 在0与 \(x\) 之间。因此可以令 \(\xi = \theta x (0 < \theta < 1)\) ，从而泰勒公式 \((3)\) 变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
\[f(x) = f(0) + f^{'}(0)x + \cfrac{f^{''}(0)}{2!}x^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cfrac{f^{(n + 1)}(\theta x)}{(n + 1)!} x^{n + 1} \tag{7}
\]
由 \((6)\) 或 \((7)\) 可得近似公式
\[f(x) \approx f(0) + f^{'}(0) x + \cfrac{f^{''}(0)}{2!} x^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n ,
\]
估计误差式 \((5)\) 相应地变成
\[|R_n (x)| \leqslant \cfrac{M}{(n + 1)!} |x|^{n + 1} \tag{8}
\]
例1 写出函数 \(f(x) = \mathrm{e}^x\) 的带有拉格朗日余项的 \(n\) 阶麦克劳林公式。
解：因为
\[f^{'}(x) = f^{''}(x) = \cdots = f^{(n)} (x) = \mathrm{e}^x ,
\]
所以
\[f(0) = f^{'}(0) = f^{''}(0) = \cdots = f^{(n)} (0) = 1
\]
把这些值代入公式 \((7)\) ，并注意到 \(f^{(n + 1)}(\theta x) = \mathrm{e}^{\theta x}\) 便得
\[\mathrm{e}^x = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots + \cfrac{x^n}{n!} + \cfrac{\mathrm{e}^{\theta x}}{(n + 1)!} x^{n + 1} \quad (0 < \theta < 1).
\]
由这个公式可知，把 \(\mathrm{e}^x\) 用它的 \(n\) 次泰勒多项式表达为
\[\mathrm{e}^x \approx 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots + \cfrac{x^n}{n!} ,
\]
这时所产生的误差为
\[|R_n (x)| = \left| \cfrac{\mathrm{e^{\theta x}}}{(n + 1)!} x^{n + 1} \right| \leqslant \cfrac{\mathrm{e}^{|x|}}{(n + 1)!} |x|^{n + 1} \quad (0 < \theta < 1).
\]
如果取 \(x = 1\) ，则得无理数 \(\mathrm{e}\) 的近似式为
\[\mathrm{e} \approx 1 + 1 + \cfrac{1}{2!} + \cdots + \cfrac{1}{n!} ,
\]
其误差
\[|R_n| < \cfrac{\mathrm{e}}{(n + 1)!} < \cfrac{3}{(n + 1)!} .
\]
当 \(n = 10\) 时，可算出 \(\mathrm{e} \approx 2.718282\) ，其误差不超过 \(10^{-6}\) .
例2 求 \(f(x) = \sin x\) 的带有拉格朗日余项的 \(n\) 阶麦克劳林公式。
解：因为
\[f^{'}(x) = \cos x , f^{''}(x) = -\sin x , f^{'''}(x) = -\cos x , \\
f^{(4)}(x) = \sin x, \cdots , f^{(n)}(x) = \sin{\left( x + \cfrac{n \pi}{2} \right)} ,
\]
所以
\[f(0) = 0, f^{'}(0) = 1, f^{''}(0) = 0, f^{'''}(0) = -1, f^{(4)}(0) = 0
\]
等。它们顺序循环地取四个数 \(0, 1, 0, -1\) ，于是按公式 \((7)\) 得（令 \(n = 2m\)）
\[\sin x = x - \cfrac{x^3}{3!} + \cfrac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{2m - 1} \cfrac{x^{2m -1}}{(2m - 1)!} + R_{2m}(x) ,
\]
其中
\[R_{2m}(x) = \cfrac{\sin{[\theta x + (2m + 1) \cfrac{\pi}{2}]}}{(2m + 1)!} x^{2m + 1} = (-1)^m \cfrac{\cos \theta x}{(2m + 1)!} x^{2m + 1} \quad (0 < \theta < 1).
\]
类似的还可以得到
\[\cos x = 1 - \cfrac{1}{2!}x^2 + \cfrac{1}{4!}x^4 - \cdots + (-1)^m \cfrac{1}{2m !} x^{2m} + R_{2m + 1}(x)
\]
其中
\[R_{2m + 1}(x) = \cfrac{\cos{[\theta x + (m + 1)\pi]}}{(2m + 2)!} x^{2m + 2} \quad (0 < \theta < 1);
\]
\[\ln{(x + 1)} = x - \cfrac{1}{2!}x^2 + \cfrac{1}{3}x^3 - \cdots + (-1)^{n - 1} \cfrac{1}{n} x^n + R_n (x),
\]
其中
\[R_n (x) = \cfrac{(-1)^n}{(n + 1)(1 + \theta x)^{n + 1}} \quad (0 < \theta < 1);
\]
\[(1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \cfrac{\alpha (\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \cfrac{\alpha (\alpha - 1) \cdots(\alpha- n + 1)}{n!}x^n + R_n (x) ,
\]
其中
\[R_n (x) = \cfrac{\alpha (\alpha - 1) \cdots(\alpha- n + 1)(\alpha - n)}{(n + 1)!}(1 + \theta x)^{\alpha - n - 1} x^{n + 1} \quad (0 < \theta < 1).
\]
例3 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限 \(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{\sin x - x \cos x}{\sin^3 x}\) .
解：由于分式的分母 \(\sin^3 x \thicksim x^3 (x \to 0)\) ，我们只需将分子中的 \(\sin x\) 和 \(x \cos x\) 分别用带有佩亚诺余项的3阶麦克劳林公式表示，即
\[\sin x = x - \cfrac{x^3}{3!} + o(x^3), \quad x \cos x = x - \cfrac{x^3}{2!} + o(x^3) .
\]
于是
\[\sin x - x \cos x = x - \cfrac{x^3}{3!} + o(x^3) - x + \cfrac{x^3}{2!} - o(x^3) = \cfrac{1}{3} x^3 + o(x^3) ,
\]
对上式作运算时，把两个比 \(x^3\) 高阶的无穷小的代数和仍记作 \(o(x^3)\) ，故
\[\lim_{x \to 0} \cfrac{\sin x - x \cos x}{\sin^3 x} = \lim_{x \to 0} \cfrac{\cfrac{1}{3} x^3 + o(x^3)}{x^3} = \cfrac{1}{3} .
\]
