高等数学 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

目录
  • 一、函数单调性的判定法
  • 二、曲线的凹凸性与拐点

一、函数单调性的判定法

定理1 设函数 \(y = f(x)\)\([a, b]\) 上连续,\((a, b)\) 内可导。
(1)如果在 \((a, b)\)\(f^{'}(x) \geqslant 0\) 且等号仅限在有限多个点处成立,那么函数 \(y = f(x)\)\([a, b]\) 上单调增加。
(2)如果在 \((a, b)\)\(f^{'}(x) \leqslant 0\) 且等号仅限在有限多个点处成立,那么函数 \(y = f(x)\)\([a, b]\) 上单调减少。

如果函数 \(y = f(x)\) 在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且在区间内只有有限个驻点,那么只要用函数的驻点及导数不存在的点来划分函数 \(y = f(x)\) 的定义区间,就能保证 \(f^{'}(x)\) 在各个部分区间内保持固定符号,因而函数 \(y = f(x)\) 在每个部分区间上单调。

二、曲线的凹凸性与拐点

定义 设 \(y = f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续,如果对 \(I\) 上任意两点 \(x_1, x_2\) 恒有

\[f \left( \cfrac{x_1 + x_2}{2} \right) < \cfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2} , \]

那么称 \(y = f(x)\)\(I\) 上的图形是(向上)凹的(或凹弧);
如果恒有

\[f \left( \cfrac{x_1 + x_2}{2} \right) > \cfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2} , \]

那么称 \(y = f(x)\)\(I\) 上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。

如果函数 \(f(x)\)\(I\) 内具有二阶导数,那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性,这就是下面的曲线凹凸性的判定定理

定理 设函数 \(y = f(x)\)\([a, b]\) 上连续,\((a, b)\) 内具有一阶和二阶导数,那么
(1)若在 \((a, b)\)\(f^{''}(x) > 0\) ,则 \(f(x)\)\([a, b]\) 上的图形是凹的;
(2)若在 \((a, b)\)\(f^{''}(x) < 0\) ,则 \(f(x)\)\([a, b]\) 上的图形是凸的。

一般地,设 \(y = f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续,\(x_0\)\(I\) 内的点。如果曲线 \(y = f(x)\) 在经过点 \((x_0, f(x_0))\) 时,曲线的凹凸性改变了,那么就称点 \((x_0, f(x_0))\) 为这曲线的拐点

我们可以按以下步骤来判定区间 \(I\) 上的连续曲线 \(y = f(x)\) 的拐点:
(1)求 \(f^{''} (x)\);
(2)令 \(f^{''} (x) = 0\) ,解出这个方程在区间 \(I\) 内的实根,并求出在区间 \(I\)\(f^{''} (x)\) 不存在的点;
(3)对于(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点 \(x_0\) ,检查 \(f^{''} (x)\)\(x_0\) 左、右两侧邻近的符号,那么当两侧符号相反时,点 \((x_0, f(x_0))\) 是拐点,当两侧符号相同时,点 \((x_0, f(x_0))\) 不是拐点。

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