小波变换及示例

在二维 Haar 小波中，输入数据分解为低频和高频分量的计算公式源自 Haar 小波的特性，以及对输入矩阵的行和列进行逐步分解的方式。

### Haar 小波变换的基本思想

Haar 小波是最简单的小波变换，它基于二进制分解。对于二维数据（如图像），通常先对行进行一维变换，然后对列进行一维变换，得到四个不同的子带：低频-低频 (LL)、低频-高频 (LH)、高频-低频 (HL) 和高频-高频 (HH)。

### 一维 Haar 小波变换

首先，我们回顾一下**一维** Haar 小波的基本运算。对于两个相邻的数据点 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，Haar 小波变换的输出包括**低频分量**和**高频分量**，分别由以下公式计算：

\[
\text{Low} = \frac{x_1 + x_2}{2}
\]
\[
\text{High} = \frac{x_1 - x_2}{2}
\]

- **低频分量 (Low)** 代表平滑信息（信号的平均值）。
- **高频分量 (High)** 代表细节信息（相邻数据之间的差异）。

### 二维 Haar 小波变换

对于二维数据（如图像），我们可以看作是对矩阵进行变换，分为两步：

1. **对行进行一维 Haar 小波变换**。
2. **对列进行一维 Haar 小波变换**。

假设我们有一个 \( 2 \times 2 \) 的矩阵块：
\[
\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 \\
x_3 & x_4
\end{bmatrix}
\]
每个元素代表一个像素值。

### 第一步：对行进行一维 Haar 变换

先对矩阵的每一行进行一维 Haar 小波变换：

\[
\text{Row 1: } \frac{x_1 + x_2}{2} \quad \frac{x_1 - x_2}{2}
\]
\[
\text{Row 2: } \frac{x_3 + x_4}{2} \quad \frac{x_3 - x_4}{2}
\]

结果是：
\[
\begin{bmatrix}
\frac{x_1 + x_2}{2} & \frac{x_1 - x_2}{2} \\
\frac{x_3 + x_4}{2} & \frac{x_3 - x_4}{2}
\end{bmatrix}
\]

### 第二步：对列进行一维 Haar 变换

现在对结果矩阵的列进行一维 Haar 变换：

1. 对第一列 \( \left[\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{x_3 + x_4}{2} \right] \) 进行变换：
\[
\frac{\frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{x_3 + x_4}{2}}{2} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}
\]
\[
\frac{\frac{x_1 + x_2}{2} - \frac{x_3 + x_4}{2}}{2} = \frac{x_1 + x_2 - x_3 - x_4}{4}
\]

2. 对第二列 \( \left[\frac{x_1 - x_2}{2}, \frac{x_3 - x_4}{2} \right] \) 进行变换：
\[
\frac{\frac{x_1 - x_2}{2} + \frac{x_3 - x_4}{2}}{2} = \frac{x_1 - x_2 + x_3 - x_4}{4}
\]
\[
\frac{\frac{x_1 - x_2}{2} - \frac{x_3 - x_4}{2}}{2} = \frac{x_1 - x_2 - x_3 + x_4}{4}
\]

### 最终结果

将上面的计算结果整理，我们可以得到 4 个分量：

1. **LL 分量**（低频-低频）：表示整体的平均值（平滑信息）：
\[
LL = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}
\]

2. **HL 分量**（高频-低频）：表示行的高频分量，列的低频分量：
\[
HL = \frac{x_1 - x_2 + x_3 - x_4}{4}
\]

3. **LH 分量**（低频-高频）：表示行的低频分量，列的高频分量：
\[
LH = \frac{x_1 + x_2 - x_3 - x_4}{4}
\]

4. **HH 分量**（高频-高频）：表示行和列的高频分量（细节信息）：
\[
HH = \frac{x_1 - x_2 - x_3 + x_4}{4}
\]

这些公式通过逐步对行和列进行一维 Haar 小波变换得出，表示图像块在不同频率下的分量，分别捕捉了不同方向上的细节信息。

### 总结

- **LL 分量**：反映了低频的平滑信息，是图像的整体轮廓。
- **HL 分量**：捕捉了水平方向的细节（高频）和垂直方向的平滑（低频）。
- **LH 分量**：捕捉了垂直方向的细节（高频）和水平方向的平滑（低频）。
- **HH 分量**：捕捉了水平和垂直方向的细节（高频），通常对应于图像中的边缘信息。

通过这些分量，二维 Haar 小波变换能够有效地分解图像的细节和整体结构，并为图像处理、压缩等任务提供了有用的信息。