2024/9/20-编程知识

2024/9/20

news/2024/9/24 23:22:30/文章来源:https://www.cnblogs.com/ddxrS/p/18430309

拉格朗日插值

通过 \(n+1\) 个点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_{n+1},y_{n+1})\) 唯一确定一个 \(n\) 次多项式。

考虑构造 \(n+1\) 个式子，对于第 \(i\) 个式子满足当 \(x=x_i\) 时值为 \(y_i\)，当 \(x\not=x_i\) 时值为 \(0\)，将这 \(n+1\) 个式子加起来就可以得到这个 \(n\) 次多项式。

也就是说我们有 \(f(x)=a\cdot \prod_{i\not=j}(x-x_j)\)，然后过 \((x_i,y_i)\)，于是 \(a=\frac{y_i}{\prod_{i\not=j}(x_i-x_j)}\)，所以 \(f(x)=y_i\cdot\prod_{i\not=j}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\)。

给定 \(x\) 求 \(f(x)\)，时间复杂度 \(O(n^2)\)。当 \(x_i\) 连续时可以预处理出前缀积、后缀积、阶乘来 \(O(n)\) 计算。

CF995F Cowmpany Cowmpensation

*动态规划，dp 优化

题目大意：

树形结构，给每个节点分配工资（值域在 \([1, d]\)），子节点不能超过父亲节点的工资，问有多少种分配方案。

数据范围 \(1\le n\le 3000,1\le d\le 10^9\)。

思路：

先列出朴素的 dp，设 \(f_{u,i}\) 表示在节点 \(x\) 的工资为 \(i\) 的方案数，我们有：

\[f_{u,i}=\prod_{v\in son_u}\sum_{j=1}^{i}f_{v,j} \]

令 \(g_{u,i}\) 为 \(\sum_{j=1}^{i}f_{u,j}\) 可以把 dp 优化到 \(O(nd)\)，但是 \(d\) 很大，无法通过。

但是，可以发现，\(g_{u,i}\) 是一个不超过 \(siz_{u}\) 次的多项式，证明如下：

当 \(u\) 是叶子时，\(g_{u,i}=i\) 是一个 \(1\) 次式。
有 \(g_{u,i}-g_{u,i-1}=\prod_{v\in son_u}g_{v,i}\)，这个式子的次数是所有乘起来的式子的次数和，为 \(siz_u-1\)。所以 \(g_{u,i}\) 的次数就是 \(siz_u\)。

所以，对于每个 \(1\le i\le n+1\) 可以用 \(O(n^2)\) 把 \(g_{1,i}\) 的值求出来，然后来一边拉格朗日插值就可以求出 \(g_{1,d}\) 了。

APIO2016 划艇

*动态规划，dp 优化

题目大意：

有 \(n\) 个位置，每个位置要么不选要么在 \([a_i,b_i]\) 中选一个数，求有多少种方案能使得选出来的数是单调上升的。

数据范围 \(1\le n\le 500,1\le a_i\le b_i\le 10^9\)。

思路：

同样是列出朴素的 dp，设 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个数选 \(j\) 的方案数，我们有：

\[f_{i,j}=\sum_{k=0}^{i-1}\sum_{p=1}^{j-1}f_{k,p} \]

预处理二维前缀和可以优化到 \(O(n\max(a_i,b_i))\)，但 \(\max(a_i,b_i)\) 很大。

我们还是令 \(g_{i,j}=\sum_{k=1}^{j}f_{i,k}\)，转移的式子变为 \(f_{i,j}=\sum_{k=0}^{i-1}g_{i,j-1}\)。将区间分割开后 \(g_{i,j}\) 同样是一个 \(i\) 次多项式，对于每段分开跑一次拉格朗日插值就可以求出答案。

UVA1106 Machine Works

*动态规划，斜率优化

思路：

先将所有机器按照 \(D_i\) 排序。

考虑 dp，设 \(f_i\) 表示当前买入第 \(i\) 台机器能的得到的最大收益，于是有：

\[f_i=\max(f_j+G_j\times(D_i-D_j-1))-P_i+R_i \]

将 \(\max\) 的括号打开，并整理可得：

\[f_j-G_j\times(D_j-1)=-G_j\times D_i+P_i-R_i \]

将 \(f_j-G_j\times(D_j-1)\) 看成 \(y\)，\(-G_j\) 看成 \(k\)，可以直接用 cdq 或李超线段树来维护。

CF868F Yet Another Minimization Problem

*动态规划，决策单调性

题目大意：

给定一个序列 \(a\)，要把它分成 \(k\) 个子段。每个子段的费用是其中相同元素的对数。求所有子段的费用之和的最小值。

数据范围 \(2\le n\le 10^5,2\le k\le \min(20,n)\)。

思路：

设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数分成了 \(j\) 段的最小费用，于是有 \(f_{i,j}=\min_{k=1}^{i}(f_{k-1,j-1}+calc(k,i))\)，其中 \(calc(k,i)\) 表示区间 \([k,i]\) 的费用。

我们发现，在 \(j\) 固定时，dp 是具有单调性的。假设 \(i\) 往右移一次，有 \(calc(k,i+1)=calc(k,i)+\sum_{p=k}^i[a_p=a_i]\)。可以发现，当 \(k\) 越往左，这个增量就越大。

也就是说，对于两个 \(f_{u,j-1}+calc(u,i)\) 和 \(f_{v,j-1}+calc(v,i)\) 其中 \(u<v\)，若我们把 \(i\) 往右移一次，前一项值不变，后一项 \(calc(u,i)\) 的增量一定不小于 \(calc(v,i)\) 的增量。所以，当 \(i\) 往右移动的时候，最优决策点一定会增加。

将 \(j\) 那一维放在外面枚举，里面就可以分治来求解了。