国庆题目

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• 题意：

给定一个 \(n\times m\) 的网格，由“.”和“#”字符组成。

如果从该组中的任何单元格开始，通过仅移动到该组中共享一个共同边的另一个单元格，就可以到达该组中的任何其他单元格，则一组“#”单元格形成一个连通分量。其大小为该组中的单元格数量。

在一次操作中，选择任意一行 \(r\) 和任意一列 \(c\)，然后将行 \(r\)和列 \(c\) 中的每个单元格设置为 "#"。

问在最多执行一次操作后，可以实现的“＃”个单元格的最大连通分量的最大可能大小。

ps：保证所有测试用例中的 $ n \cdot m $ 的总和不超过 $ 10^6 $。

• 思路：

我们考虑到执行操作不会使答案更劣，所以我们一定会执行这次操作。

考虑到 \(n\times m\leq 10^6\)，那么我们可以暴力枚举选择哪行哪列。

考虑到如果在枚举内部统计答案不好做，哥们考虑预处理答案，那么可以单点算贡献。

我们看下一个点会在选哪行哪列时产生贡献。

显然如果该点在原本的图上最左边可到达 \(l1\)，最右可到达 \(r1\)，最上可到达 \(l2\)，最下 \(r2\) 的话，那么哥们会发现，只要我们选的行在 \([l2-1,r2+1]\) 的区间内或所选的列在 \([l1-1,r1+1]\) 的区间内，都可以产生贡献。

那么我们将我们的选择也抽象成一个矩阵，第 \(i\) 行 \(j\) 列记录的就是我们选第 \(i\) 行第 \(j\) 列的答案。

然后就变成一个套路的矩阵中一块的加减法，直接弄一个矩阵差分即可转为 \(O(1)\) 处理，最后再转回来即可，记得特殊处理你选的那行和那列的答案。

时间复杂度 \(O(nm)\)。