[OI] 树链剖分

学的时候比较朦胧，现在不朦胧了，所以写一下

讲解

重儿子：一个节点的子树大小最大的儿子
轻儿子：非重儿子
重链：节点 -> 重儿子 -> 重儿子 .. 这样的链

A beautiful Tree

蓝线为重链

可以发现，树上的所有节点一定属于且仅属于一个重链

首先要知道如何找重链

这很简单，可以通过一遍 DFS 得到：

void dfs(int now){size[now]=1;int maxsonsize=0;for(i:遍历所有子节点){dfs(i)if(size[i]>maxsonsize){maxson[now]=i;maxsonsize=size[i]}size[now]+=size[i]}
}

其中 size 是节点的子树大小

为什么一定要剖出重链来？因为我们要进行的是在链上跳跃的操作，而我们可以跳跃的范围是一整条链，因此链越长，对复杂度就越有利，而且我们将不同的重链剖出来，还能保证每一个节点都在一条重链上，不重不漏

找出重儿子以后怎么找重链呢

这个就更简单了，我们再做一遍 DFS，记录每个链顶端的节点，然后将其赋给链中的每一个节点（或者你在这里开个 cnt 也是可以的，只要能起到区分的作用就行），这样，值相同的节点就一定在同一条链里了

void dfs2(int now,int topnode){top[now]=topnode;if(maxson[now]==0) return; //没有儿子就返回dfs2(maxson[now],top_node) //搜索重儿子，此时不改变链for(i:遍历子节点){if(i!=maxson[now]){dfs2(i,i);        //轻儿子的重链顶端就是这个轻儿子，可以看上面的图}                      //如果你在这里写 cnt 的话就是 ++cnt}
}

实际上我们还需要在这两遍 DFS 中维护一些信息，具体的信息列在下面：

DFS1

• 节点父亲
• 节点深度
• 节点子树大小
• 节点的重儿子编号

DFS2

• 构建链
• 按遍历顺序为每个节点分配新编号
• 将原节点权值迁移到新编号

可以写出下面两个代码：

void dfs1(int now,int last){fa[now]=last;deep[now]=deep[last]+1;size[now]=1;int maxsonsize=0;for(int i:e[now]){if(i!=last){dfs1(i,now);if(size[i]>maxsonsize){maxson[now]=i;maxsonsize=size[i];}size[now]+=size[i];}}
}

void dfs2(int now,int nowtop,int last){id[now]=++cnt;wnew[id[now]]=w[now];top[now]=nowtop;if(!maxson[now]) return;dfs2(maxson[now],nowtop,now);for(int i:e[now]){if(i!=last and i!=maxson[now]){dfs2(i,i,now);}}
}

这里我们给每个节点都分配了新的编号，那么有什么用吗

因为我们这么分配编号有两个非常好的性质

• 同一个重链上的点，编号总是连续的，并且上面的节点编号总是比下面的节点编号要小

• 同一个子树中的点，编号是一个连续区间，并且这个区间总是 \([id_r,id_r+size-1]\)（\(r\) 是子树根节点）

但是需要注意的是，为了实现这两个非常好的性质，我们需要在 DFS2 中优先遍历重儿子，因为重儿子和当前节点在一条链中，只有优先遍历了重儿子，才能保证按遍历顺序分配的编号是连续的

那么有了这两个非常好的性质，我们可以干什么呢

• 查询路径信息

假如有一道题让我们查询树上 \((x,y)\) 的简单路径权值和（点权）

那么我们可以考虑这样降低复杂度：

• 如果 \(x,y\) 不在一条链上，将其中链顶深度较小的那个节点跳到它所在的链顶，同时统计该节点到其顶端的答案
• 重复如上操作，直到 \(x,y\) 在一条链上
• 此时直接统计即可

以上操作中，由于我们只在同一条链上跳，因此编号总是连续的，所以可以用数据结构来维护

下面是一份线段树维护的查询

int ask_path_sum(int x,int y){int res=0;while(top[x]!=top[y]){if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);res+=ask_sum(1,id[top[x]],id[x]);x=fa[top[x]];}if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);res+=ask_sum(1,id[y],id[x]);return res;
}

路径修改同理

然后考虑怎么用第二个性质

第二个性质也非常好，可以用来作子树整体修改/查询

int ask_subtree(int x){return stree::ask_sum(1,id[x],id[x]+size[x]-1);
}

例题

树的统计

• 单点修改
• 路径和查询
• 路径最值查询

这两个信息都能用线段树来维护

单点修改总是简单的，直接在线段树上定位即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int deep[200001],fa[200001],size[200001],maxson[200001];
vector<int>e[200001];
void dfs1(int now,int last){fa[now]=last;deep[now]=deep[last]+1;size[now]=1;int maxsonsize=0;for(int i:e[now]){if(i!=last){dfs1(i,now);if(size[i]>maxsonsize){maxson[now]=i;maxsonsize=size[i];}size[now]+=size[i];}}
}
int w[200001];
int id[200001],top[200001],wnew[200001];
int cnt=0;
void dfs2(int now,int nowtop,int last){id[now]=++cnt;wnew[id[now]]=w[now];top[now]=nowtop;if(!maxson[now]) return;dfs2(maxson[now],nowtop,now);for(int i:e[now]){if(i!=last and i!=maxson[now]){dfs2(i,i,now);}}
}
namespace stree{struct tree{int l,r;int sum,max;}t[800001];#define tol (id*2)#define tor (id*2+1)#define mid(l,r) mid=((l)+(r))/2void build(int id,int l,int r){t[id].l=l;t[id].r=r;if(l==r){t[id].sum=wnew[l];t[id].max=wnew[l];return;}int mid(l,r);build(tol,l,mid);build(tor,mid+1,r);t[id].sum=(t[tol].sum+t[tor].sum);t[id].max=max(t[tol].max,t[tor].max);}int ask_sum(int id,int l,int r){if(l>r) swap(l,r);if(l<=t[id].l and t[id].r<=r){return t[id].sum;}pushdown(id);if(r<=t[tol].r) return ask_sum(tol,l,r);else if(l>=t[tor].l) return ask_sum(tor,l,r);else{return (ask_sum(tol,l,t[tol].r)+ask_sum(tor,t[tor].l,r));}}int ask_max(int id,int l,int r){if(l>r) swap(l,r);if(l<=t[id].l and t[id].r<=r){return t[id].max;}pushdown(id);if(r<=t[tol].r) return ask_max(tol,l,r);else if(l>=t[tor].l) return ask_max(tor,l,r);else{return max(ask_max(tol,l,t[tol].r),ask_max(tor,t[tor].l,r));}}
}
int ask_path_max(int x,int y){int res=-1;while(top[x]!=top[y]){if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);res=max(res,stree::ask_max(1,id[top[x]],id[x]));x=fa[top[x]];}if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);res=max(res,stree::ask_max(1,id[y],id[x]));return res;
}
int ask_path_sum(int x,int y){int res=0;while(top[x]!=top[y]){if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);res+=stree::ask_sum(1,id[top[x]],id[x]);x=fa[top[x]];}if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);res+=stree::ask_sum(1,id[y],id[x]);return res;
}
int n,m;
signed main(){scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n-1;++i){int x,y;scanf("%lld %lld",&x,&y);e[x].push_back(y);e[y].push_back(x);}for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%lld",&w[i]);}scanf("%lld",&m);dfs1(1,0);dfs2(1,1,0);stree::build(1,1,n);while(m--){string op;int x,y,z;cin>>op;if(op[0]=='C'){scanf("%lld %lld",&x,&z);stree::change(1,id[x],id[x],z-stree::ask_sum(1,id[x],id[x]));}if(op[0]=='Q' and op[1]=='M'){scanf("%lld %lld",&x,&y);printf("%lld\n",ask_path_max(x,y));}if(op[0]=='Q' and op[1]=='S'){scanf("%lld %lld",&x,&y);printf("%lld\n",ask_path_sum(x,y));}}
}