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算法
有点像扫描线?
容易想到离散化坐标点, 那么对于离散化之后的坐标 \(x\), 粗略来看, 其能分开区间的个数即为 \(\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \left[{l_i < x < R_i}\right]\)
这个可以用类似于差分的方法解决, 每次对于一个区间 \(\left(l_i, r_i\right)\) , 将其区间整体加 \(1\)
发现到可以用差分, 即将差分数组的 \(l_i + 1\) 位置加 \(1\), \(r_i\) 位置减 \(1\)
于是可以直接在离散化时按照 \(l_i + 1\) 和 \(r_i\) 离散化
然后操作的时候需要注意: 离散化前后对应的区间长度改变
我使用 \(Back\) 数组记录离散化之前的真实坐标
对于每一个离散化之后的点, 都可以计算出其被覆盖的次数(差分数组求前缀和), 关键问题就在于怎么去对应到原序列上
可以发现(以下均为离散化之后的点) \(i, i + 1, i \in [1, \rm{farthest \text{ } position})\) 这两个点能够组成一个区间, 对于区间中的数, 其覆盖次数即为差分数组前缀和 \(i\) 的位置, 这个画画图就能出来
也就是说, 对于离散化之后的每一个位置, 我们依次计算前缀和相等的区间, 然后进行排序并处理
于是就可以写代码了
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int MAXN = 1e5 + 20;
const int MAXSIZE = 2e5 + 20;int T;
int n, m;struct node
{int Left, Right;
} Sec[MAXN];
int Pos[MAXSIZE];
int Pos_cnt = 0;
int Back[MAXSIZE];void lsh()
{std::sort(Pos + 1, Pos + 2 * n + 1);Pos_cnt = std::unique(Pos + 1, Pos + 2 * n + 1) - (Pos + 1);for (int i = 1; i <= n; i++){int Now_Left = std::lower_bound(Pos + 1, Pos + Pos_cnt + 1, Sec[i].Left) - Pos;Back[Now_Left] = Sec[i].Left;Sec[i].Left = Now_Left;int Now_Right = std::lower_bound(Pos + 1, Pos + Pos_cnt + 1, Sec[i].Right) - Pos;Back[Now_Right] = Sec[i].Right;Sec[i].Right = Now_Right;}
}int Dif[MAXSIZE]; // 差分数组struct operation
{int Val; // 覆盖次数int Len; // 对应原序列上的长度
} Cut[MAXSIZE];
bool cmp(operation a, operation b) { return a.Val > b.Val; }int solve()
{/*离散化后, 对差分数组进行计算*/memset(Dif, 0, sizeof(Dif));int MaxPos = 0, Ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){Dif[Sec[i].Right]--;Dif[Sec[i].Left]++;MaxPos = std::max(std::max(MaxPos, Sec[i].Right), Sec[i].Left);}/*覆盖次数计算*/for (int i = 1; i <= MaxPos; i++){Cut[i].Val = Cut[i - 1].Val + Dif[i];if(i != 1){Cut[i].Len = Back[i] - Back[i - 1];}}std::sort(Cut + 1, Cut + MaxPos + 1, cmp);for (int i = 1; i <= MaxPos; i++){int Cut_Num = std::min(m, Cut[i].Len);m -= Cut_Num;Ans += Cut_Num * Cut[i].Val;}return Ans;
}signed main()
{scanf("%lld", &T);for (int Case = 1; Case <= T; Case++){scanf("%lld %lld", &n, &m);Pos_cnt = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){/*这里的 Sec 可以理解成对差分数组操作的区间*/scanf("%lld %lld", &Sec[i].Left, &Sec[i].Right);Pos[++Pos_cnt] = ++Sec[i].Left;Pos[++Pos_cnt] = Sec[i].Right;}lsh();printf("case #%lld: %lld\n", Case, solve() + n);}return 0;
}/*
2
3 1
1 3
2 4
1 4
3 3
1 3
2 4
1 4Case #1: 5
Case #2: 7
*/
总结
一般要离散化的题, 如果不好处理, 可以考虑:
对于不离散化的状态, 需要哪些信息?
然后将这些信息离散化即可解决问题
