线性代数--矩阵 特征值特征向量

本章基调： A是n阶方阵
$$数\lambda ，存在非零列向量\alpha ，A\alpha =\lambda \alpha 则\lambda 是特征值，\alpha 是对应于\lambda 的特征向量$$
λ可以为0，特征向量不能为0
$$\lambda \alpha -A\alpha =0(\lambda E-A)\alpha =0$$
$$特征矩阵：\lambda E-A特征多项式：|\lambda E-A|特征方程：|\lambda E-A|=0$$
结论：

对应λ的特征向量不是唯一的
但是一个特征向量α只能对应一个特征值
2. $${\alpha }_1,{\alpha }_2是\lambda 的特征向量c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2是\lambda 的特征向量$$

性质

1. $$A和A^T有同样的特征值$$
   $$|\lambda E-A^T|=|\lambda E^T-A^T|=\left|{(\lambda E-A)}^T\right|=\left|(\lambda E-A)\right|$$
2. 主对角元素相加叫做迹tr(A)
   $$n个特征值{\lambda }_1，{\lambda }_2，\dots ,{\lambda }_n,\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\sum _{i=1}^n{a}_{ii},{\lambda }_1{\lambda }_2\dots \lambda n=\left|A\right|$$
   A可逆的充要条件
   1. A的行列式不等于0
   2. A的秩等于n 行秩列秩等于n 行向量列向量线性无关
   3. A的所有特征根都不等于0
   4. Ax = 0只有零解
3. $$n阶方阵A互不相同的特征值{\lambda }_1{\lambda }_2\dots {\lambda }_n对应的特征向量线性{\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_n无关$$
   
   带入原式： 特征向量不能等于0
   
   和上面性质的区别：一个特征值找一个特征向量 和 一个特征值对应于多个特征向量
   
4. k重特征根对应的线性无关的特征向量的个数小于等于k
   
   n阶矩阵A所有线性相关的向量的个数最多为n个
   其他性质：
   
   
   
   
   

相似矩阵 可对角化条件

相似： AB是两个n阶方阵，存在n阶可逆矩阵p,使得

$$P^{-1}AP=B$$
则A相似B

有相同的特征值 不一定 相似

矩阵与对角型矩阵相似的条件

A有n个互异的特征根

A的特征值都是单根： 一定相似于对角型
有重根：找重根的特征向量的个数 = 重数 才能相似于对角型
求相似解题步骤：


求高次方很方便

实对称矩阵的对角化

所有的实对称矩阵都能对角化

• 定理：

1. 实对称A的不同特征值对应的特征向量一定正交
   $$A^T=A$$
   

内积

向量分量相乘再相加，内积是个数
$$\alpha =\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \dots \\ a_3\end{array}\right)\beta =\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ \dots \\ b_3\end{array}\right)(\alpha ,\beta )=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$$

向量的长度（范数， 模）

• 长度的性质：

1. $$\begin{array}{}\parallel \alpha \parallel \ge 0\\ \parallel \alpha \parallel =0\iff \alpha =0\end{array}$$
2. $$\begin{array}{}\parallel k\alpha \parallel =\left|k\right|\cdot \parallel \alpha \parallel \\ \parallel k\alpha \parallel =\sqrt{(k\alpha ,k\alpha )}=\sqrt{k^2(\alpha ,\alpha )}=\left|k\right|\cdot \parallel \alpha \parallel \end{array}$$
3. $$\begin{array}{}|\alpha ,\beta |\le \parallel \alpha \parallel \cdot \parallel \beta \parallel \\ |a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n|\le \sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}\cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2}\end{array}$$
4. 三角形公式：$$\begin{array}{}\parallel \alpha +\beta \parallel \le \parallel \alpha \parallel +\parallel \beta \parallel \end{array}$$

正交(垂直)

两个向量做内积等于0 记为：
$$(\alpha ,\beta )=0或\alpha \mathrm{\perp }\beta$$

1. 显然零向量与任何向量都正交
2. 和自身正交的向量只能是零向量

正交向量组(不含零向量的向量组)

一组向量两两都正交
每个向量长度都是1， 叫做标准正交向量组
$$\{\begin{array}{l}({\alpha }_i,{\alpha }_i)=1\\ ({\alpha }_i,{\alpha }_j)=0\end{array}$$
定理： $${\alpha }_1\dots {\alpha }_s是正交向量组，那么{\alpha }_1\dots {\alpha }_s是线性无关的$$

施密特正交化

单位化：

正交矩阵

A是n阶方阵，$$A^{T}A=E$$

• 性质：

1. 如果A是正交矩阵，A的行列式=-1 or 1
   $$\left|A\right|=1$$
   $$\begin{array}{}\left|A^T\right|\left|A\right|=1\\ {\left|A\right|}^2=1\end{array}$$

2. 如果A是正交矩阵，A逆=A转置，且A逆和A转置均为正交矩阵
   $$\begin{array}{}{A}^{T}A=E\\ A^{-1}=A^T\\ {\left(A^{-1}\right)}^T{A}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T{A}^T={\left(A{A}^{-1}\right)}^T=E\\ {\left(A^T\right)}^T{A}^T=A{A}^T=A{A}^{-1}=E\end{array}$$

3. 如果A,B都是n阶正交矩阵那么AB也正交
   $${\left(AB\right)}^{T}AB=B^T{A}^{T}AB=B^{-1}B=E$$

4. $$\begin{array}{}A是正交矩阵，\alpha \beta 是列向量，(A\alpha ,A\beta )=(\alpha ,\beta )\\ {\left(A\alpha \right)}^{T}A\beta ={\alpha }^T{A}^{T}A\beta ={\alpha }^T\beta =(\alpha ,\beta )\end{array}$$

• 定理

1. $$\begin{array}{}A是正交矩阵，A\iff A的行(列)向量组是标准正交向量组\end{array}$$
   

正交相似一定相似

AB是同阶方阵，存在正交矩阵P,使得
$$P^{-1}AP=B$$
A实对称矩阵，一定存在正交矩阵Q,使得
$$Q^{-1}AQ=\wedge =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \dots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$