【题解】CF1944

CF1944A

简要题意

给定完全图
删k条边使得从一号点开始的可达点最少

Solution

注意到最多需要删 n-1 条边就可以使得任意一个其他点都到达不了
又注意到只要删的边少于 n-1 就可以从一号点走出去，主要走出去就可以走到任何点
所以这题答案只有两种
如果k≤n-1 答案为n
否则答案为 1

CF1944B

简要题意

给定一个长度为 \(2n\) 的序列 \(a\)，包含 \(1\) ~ \(n\) 每个数恰好两次。
对 \(a\) 的前 \(n\) 个元素和后 \(n\) 个元素分别求出长度为 \(2k\) 的子序列 \(l,r\)，使得 \(l\) 与 \(r\) 中所有元素的异或和相等，即 \(l_1\oplus l_2\oplus...\oplus l_{2k}=r_1\oplus r_2\oplus...\oplus r_{2k}\)。

Solution

• 我们称前n个数为左边，后n个数为右边
• 注意到对于每一种数，只有两种分配方案
  第一种 左右各一个
  第二种 都在左或右
• 不难证明左右两边两种数的个数分别相等
• 对于第一种，左右同时取即可
  对于第二种，一种一定合法的构造方案是两边都同时取两个，由于2k一定是偶数，所以这种构造一定合法。
• 到这就很清晰了，无脑按照第一/第二种方法构造就可以了，任意一种数不够用了换另一种即可

CF1944C

简要题意

• Alice 和 Bob 在大小为 \(n\) 的数组 \(a\) 上玩一个游戏：Alice 有一个空数组 \(c\) 开始。两位玩家轮流进行游戏，Alice 先开始。
• 在 Alice 的回合中，她从 \(a\) 中选择一个元素，将该元素添加到 \(c\) 中，然后从 \(a\) 中删除该元素。
  在 Bob 的回合中，他从 \(a\) 中选择一个元素，然后从 \(a\) 中删除该元素。
• 当数组 \(a\) 为空时游戏结束，游戏的得分定义为 \(c\) 的 MEX。
• Alice 希望最大化得分，而 Bob 希望最小化得分。
• 找出如果两位玩家都采取最佳策略时的游戏最终得分。

Solution

• 显然数的顺序不重要，数的个数重要，直接存桶
• 假定最终答案是 \(x\)，那么 \(0\) 到 \(x-1\) 之间的所有数都需要取到
• 显然这 \(x\) 个数都至少得有一个
• 如果一个数有两个，那么 A 可以在 B 拿走一个数之后立刻拿走另一个
  也就是说，至少一个数至少有两个，那么 A 一定可以拿到这个数
• 这 \(x\) 个数中，可以有一个数只有一个，它将被 A 一开始就拿走
• 实现：从 0 开始遍历桶，直到第一个位置计数为 0 或者 第二个位置计数为 1，这个位置的下标即为答案 (这是第一个取不到的数)

CF1944D

简要题意

• 定义一个字符串是 \(k\)-good 的，当且仅当该字符串存在长为 \(k\) 的非回文子串。
• 对于字符串 \(t\)，定义 \(f(t)\) 为满足 \(t\) 是 \(k\)-good 的正整数 \(k\) 的总和。
• 对于给定的一个长为 \(n\) 的字符串 \(s\)，你需要回答 \(q\) 个询问，每次询问给出两个正整数 \(l,r\)，求 \(f(s_ls_{l+1}\dots s_r)\) 的值。每个测试点 \(t\) 组测试用例。
• \(1\le t\le 2\cdot 10^4;1\le n,q,\sum n,\sum q\le 2\cdot 10^5;1\le l<r\le n\)

Solution

• 注意到不是 \(k-g\) 的条件很苛刻，考虑什么时候不是 \(k-g\)
• \(k=1\) ： 永远不kg
  \(k=|S|\)：不 kg 当且仅当 S 回文
  \(k=奇数\) ： 如果不 kg，说明分别从第一，第二个位置开始截取长度为 k 的字串都是回文的，容易推导出这一段一定是形如 ABABA 交替，进而推广到整个串都是 ABABA 交替
  \(k=偶数\) ： 如果不 kg，类似的，可以推广到整个串都是 AAAAAAAA
• 综上所述，我们只需要判断一个串：

1. 是否回文
2. 是否形如 ABABAB
3. 是否形如 AAAAA

• 判后两个是容易的，判回文马拉车即可

CF1944E

简要题意

• 给定树 \(n\leq 5e3\)
• 初始时所有节点都是白色
• 定义操作：选择一个节点，把距离这个节点距离为 \(d\) 的点都变成黑色 \((0\leq d \leq n-1)\)
• 问最少多少次操作把所有点都染成黑的，并输出方案

Solution

• 容易想到直径
• 考虑直径这条链，一次最多染链上的两个点
• 得到答案下界 : \(ceil(n/2)\)
• 注意到染整棵树和染直径所需次数相同，于是只考虑直径
• 得到答案上界：\(n/2+1\) (如果直径上点数是偶数可以取到，如 6)
• 注意到：如果直径上有奇数个点，答案上界等于答案下届，没什么优化空间，直接选定直径中点一层一层染即可
• 考虑长度为 4 的链用于启发：发现长度为 4 的链实际上只需要两次操作
• 如果链上点数是 4 的倍数，那么一定可以取到答案下届（反复按照长度为 4 的链构造即可）
• 现在只剩一种情况：点数是 4 的倍数+2，发现无论如何都不能取到下届（考虑长度为 6 的链）
  答案为 \(n/2+1\) 构造方法同上，只需单独染最后两个多出来的点即可

CF1944F