『模拟赛』多校A层冲刺NOIP2024模拟赛19

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byd CSP 之后就没场切过题😡😡😡

A. 图书管理

签，又寄了。

这种题直接做复杂度算着不对的话大概率就是要拆分贡献了。赛时用对顶堆维护的中位数，卡常到极致在 \(n=10^4\) 时要跑 1.2s。

感觉卡常有用所以写下来：发现如果每次新开一个堆结构最多只有 500500 个数，加上 STL 特性大概率会 RE，但是距离极限不大，所以可以对一个常数 \(\frac{3n}{4}\) 取模开这些数量的堆。发现每次清空是个耗时间的工作，但是左端点倒序枚举就能减少很多次可避免的删除操作。

发现对效率提升没用的：手动 O3；优先队列改成 set；register；快写。

那么考虑正解。对于每一位上的数统计取其值作为中位数的贡献之和。考虑将值大于当前值的数看作 1，小于的看作 -1，那么当某个区间和为 0 时即为当前值作为中位数的情况。考虑先向前扫，记录每个和的左端点位置之和（原因考虑乘法结合律）；然后向右扫，为贡献加上 当前和的相反数的记录值 与 当前右端点位置 的积。最后用贡献乘上这个值即为当前点的贡献。复杂度 \(\mathcal{O(n^2)}\)，完全不用卡常。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
#define fo(x, y, z) for(int (x) = (y); (x) <= (z); (x)++)
#define fu(x, y, z) for(int (x) = (y); (x) >= (z); (x)--)
using namespace std;
typedef long long ll;
#define lx ll
inline lx qr()
{char ch = getchar(); lx x = 0, f = 1;for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);return x * f;
}
#undef lx
#define qr qr()
#define pii pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define M_P(x, y) make_pair(x, y)
#define P_B(x) push_back(x)
#define int ll
const int Ratio = 0;
const int N = 1e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
int n;
int a[N], bz[N];
ll ans;
int v[N << 1];
namespace Wisadel
{short main(){freopen("book.in", "r", stdin), freopen("book.out", "w", stdout);n = qr;fo(i, 1, n) a[i] = qr;fo(i, 1, n){fill(v + 1, v + 1 + 2 * n, 0);bz[i] = 0;fo(j, 1, n) if(j != i) bz[j] = (a[j] > a[i]) ? 1 : -1;ll sum = 0, res = 0;fu(j, i, 1) sum += bz[j], v[sum + n] += j;sum = 0;fo(j, i, n) sum += bz[j], res += 1ll * v[n - sum] * j;ans += res * a[i];}printf("%lld\n", ans);return Ratio;}
}
signed main(){return Wisadel::main();}

B. 两棵树

结论题。

结论：连通块树 = 点数 - 边数。那么就可以将所求转化：

\[X\times Y=(V_T-E_T)\times (V_U-E_U)=V_T\times V_U-V_T\times E_U-V_U\times E_T+E_T\times E_U \]

分别讨论。

考虑 \(u\in V_T,v\in V_U\)，当 \(u\neq v\) 时有贡献，概率为 \(\frac{1}{4}\)，否则贡献为 0；总期望 \(\frac{n(n-1)}{4}\)。

考虑 \(u\in V_T,v\in E_U\)，当 \(u\) 与 \(v\) 的两个端点均不同时有贡献，概率为 \(\frac{1}{8}\)，否则贡献为 0；总期望为 \(\frac{(n-1)(n-2)}{8}\)。

考虑 \(u\in E_T,v\in E_U\)，当四个端点均不相同时有贡献，概率为 \(\frac{1}{16}\)，否则贡献为 0。枚举所有边，符合条件的边数量为 \(n-1-deg_u-deg_v+[(u,v)\in E_T\ \operatorname{and}\ (u,v)\in E_U]\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(x, y, z) for(int (x) = (y); (x) <= (z); (x)++)
#define fu(x, y, z) for(int (x) = (y); (x) >= (z); (x)--)
using namespace std;
typedef long long ll;
#define lx ll
inline lx qr()
{char ch = getchar(); lx x = 0, f = 1;for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);return x * f;
}
#undef lx
#define qr qr()
#define pii pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define M_P(x, y) make_pair(x, y)
#define P_B(x) push_back(x)
#define int ll
const int Ratio = 0;
const int N = 2e5 + 5;
const int mod = 998244353;
int n;
int ds[N];
vector<pii> e;
map<pii, int> mp;
ll ans;
namespace Wisadel
{ll Wqp(ll x, int y){ll res = 1;while(y){if(y & 1) res = res * x % mod; x = x * x % mod; y >>= 1;}return res;}short main(){freopen("tree.in", "r", stdin), freopen("tree.out", "w", stdout);n = qr;fo(i, 1, n - 1){int a = qr, b = qr;if(a > b) e.P_B(M_P(b, a));else e.P_B(M_P(a, b));}fo(i, 1, n - 1){int a = qr, b = qr;ds[a]++, ds[b]++;pii zc = a > b ? M_P(b, a) : M_P(a, b);mp[zc] = 1;}ans = 1ll * n * (n - 1) % mod * Wqp(4, mod - 2) % mod;ans = (ans - 1ll * (n - 1) * (n - 2) % mod * Wqp(4, mod - 2) % mod + mod) % mod;ll zc = 0;fo(i, 0, n - 2) zc = (zc + n - 1 - ds[e[i].fi] - ds[e[i].se] + mp[M_P(e[i].fi, e[i].se)] + mod) % mod;ans = (ans + zc * Wqp(16, mod - 2) % mod) % mod;printf("%lld\n", ans);return Ratio;}
}
signed main(){return Wisadel::main();}

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上个厕所回来更。